إتقان رياضيات الصف الثاني عشر: 21 مسألة وحلاً شاملاً

ليكن \(R\) و \(r\) هما معدل عمل المضخات الكبيرة والصغيرة على التوالي.

\(4(2R + r) = 1\): مضختان كبيرتان ومضخة صغيرة واحدة تعملان لمدة 4 ساعات لإنجاز عمل واحد (مهمة كاملة)

\(4(R + 3r) = 1\): مضخة كبيرة واحدة و3 مضخات صغيرة تعملان لمدة 4 ساعات لإنجاز عمل واحد

\(T(4R + 4r) = 1\): أوجد الزمن \(T\) إذا كانت 4 مضخات كبيرة و4 مضخات صغيرة ستنجز عملاً واحداً.

حل نظام المعادلتين الأوليين بالنسبة لـ \(R\) و \(r\) ثم عوض في المعادلة الثالثة وحل بالنسبة لـ \(T\) لإيجاد الزمن: \(T = \dfrac{5}{3}\) ساعة = ساعة و 40 دقيقة.

\(x + y + H = 60\): المحيط، حيث \(x\) و \(y\) هما الضلعان القائمان و \(H\) هو الوتر في المثلث القائم الزاوية

\(\dfrac{1}{2}xy = 150\): المساحة

\(x^2 + y^2 = H^2\): مبرهنة فيثاغورس

3 معادلات بـ 3 مجاهيل.

\((x + y)^2 - 2xy = H^2\): إكمال المربع في المعادلة الثالثة.

\(x + y = 60 - H\): عبّر عن \(x + y\) باستخدام المعادلة الأولى واستخدم المعادلة الثانية لإيجاد \(xy = 300\) وعوض في المعادلة 5.

\((60 - H)^2 - 600 = H^2\): معادلة واحدة بمجهول واحد.

حل بالنسبة لـ \(H\) لتجد \(H = 25\) سم. عوض وحل بالنسبة لـ \(x\) و \(y\) لتجد \(x = 15\) سم و \(y = 20\) سم.

\(\sqrt{(-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2} = \sqrt{(a + 3)^2 + (0 + 2)^2}\): المسافات من المركز إلى أي نقطة على الدائرة متساوية.

\(25 = (a + 3)^2 + 4\): بسط وربع الطرفين

\((a + 3)^2 = 21\): إعادة كتابة المعادلة السابقة

حل بالنسبة لـ \(a\):

\(a = -3 + \sqrt{21}\) أو \(a = -3 - \sqrt{21}\)

(-2, -1): مركز الدائرة

\(m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}\): ميل المستقيم المار بالمركز ونقطة التماس (0, 2)

المستقيم المار بالمركز ونقطة التماس (0, 2) عمودي على المماس.

\(M = -\dfrac{2}{3}\): ميل المماس

\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\): معادلة المماس بمعلومية ميله والنقطة (0, 2).

\(_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84\): استخدام مبدأ العد الأساسي

\( x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \) : معطى

لتكن \( Y = x - 2 \) والتي تعطي \( x = Y + 2 \)

\( (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 \) : استبدل \( x \) بـ \( Y + 2 \) في المعادلة المعطاة

\( Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 \)

\( Y^2 = |Y|^2 \) : ملاحظة

\( |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 \): إعادة كتابة المعادلة كـ

\( (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 \): تحليل العوامل

\( |Y| = 2 , |Y| = 1 \) : حل بالنسبة لـ \( |Y| \)

\( Y = 2, -2 , 1 , -1 \) : حل بالنسبة لـ \( Y \)

\( x = 4 , 0 , 3 , 1 \) : حل بالنسبة لـ \( x \) باستخدام \( x = Y + 2 \)

\( h = \dfrac{-b}{2a} = 2 \): الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ

\( k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C \): الإحداثي الصادي للرأس

\( x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) \): نقطتا التقاطع مع محور x للقطع المكافئ.

طول \( BA = k = 4 + C \)

طول \( AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C} \)

\( \text{المساحة} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} \)

\( \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 \): المساحة تساوي 32

\( C = 12 \): حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ \( C \).

\( A(0,0) \)، \( B(2k/5 , 4k/5) \)، \( C(2k ,0) \): نقاط تقاطع المستقيمات الثلاثة

المساحة = \( (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 \): معطى

\( k = 10 \): حل المعادلة السابقة بالنسبة لقيمة \( k \) الموجبة.

\( y = a(x + 2)(x - 3) \): استخدم نقاط التقاطع مع محور x لكتابة معادلة القطع المكافئ في صيغة العوامل

\( 10 = a(5 + 2)(5 - 3) \) بما أن \( (5 , 10) \) نقطة على تمثيل القطع المكافئ وبالتالي تحقق معادلته.

\( a = 5/7 \): حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ a.

قسمة \( x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \) على \( x^2 + 1 \) تعطي الباقي \( -x (1 + 2 A) \)

\( - x (1 + 2A) = 5 x \): الباقي معطى على أنه \( 5 x \)

\( -(1 + 2A) = 5 \): تتساوى كثيرات الحدود إذا تساوت المعاملات المتناظرة.

\( A = -3 \): حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ \( A \).

\( P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 \): مبرهنة الباقي

\( P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 \): مبرهنة الباقي

مما يعطي نظام المعادلات في \( A \) و \( B \):

\[ A + B = -1 \] \[ -3 A + B = -17 \]

\( A = 4 \) و \( B = -5 \): حل نظام المعادلات السابق.

\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 \): فك معادلة الدائرة الأولى

\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 \): فك معادلة الدائرة الثانية

\( -2x - 2y + 6 = 0 \): اطرح طرفي المعادلتين السابقتين اليسرى واليمنى

\( y = 3 - x \): حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ \( y \).

\( 2x^2 - 6x + 1 = 0 \): عوض بـ \( y = 3 - x \) في المعادلة الأولى، فك واجمع الحدود المتشابهة.

\(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\):

حل المعادلة السابقة بالنسبة لـ \( x \) واستخدم \( y = 3 - x \) لإيجاد y.

\( I + 200 = A^2 \): 200 المضافة إلى \( I \) تعطي مربعاً.

\( I + 276 = B^2 \): 276 المضافة إلى \( I \) تعطي مربعاً آخر.

\( B^2 = A^2 + 76 \): تخلص من \( I \) من المعادلتين.

أضف مربعات الأعداد \( A^2 \) (0، 1، 4، 9، 16، 25،...) إلى 76 حتى تحصل على مربع آخر \( B^2 \).

\( 76 + 18^2 = 400 = 20^2 \)

\( A^2 = 18^2 \) و \( B^2 = 20^2 \)

\( I = A^2 - 200 = 124 \)

\( \text{sum}_1 = a + a r + a r^2 = 42 \): مجموع الحدود الثلاثة الأولى المعطاة، حيث \( r \) هو الأساس المشترك.

\( \text{sum}_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092 \): مجموع مربعات الحدود الثلاثة المعطاة.

\( \text{sum}_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 \): تطبيق صيغة مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية.

\( \text{sum}_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 \): مجموع المربعات هو أيضاً مجموع متسلسلة هندسية.

\( \dfrac{\text{sum}_2}{(\text{sum}_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}} \): تحديد النسبة.

\( \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} \): تبسيط النسبة السابقة للحصول على معادلة.

\( r = 4 , r = 1/4 \): حل بالنسبة لـ \( r \)

\( a = 2 \): عوض بـ \( r = 4 \) في \( \text{sum}_1 \) وحل بالنسبة لـ \( a \)

\( a = 32 \): عوض بـ \( r = 1/4 \) في \( \text{sum}_1 \) وحل بالنسبة لـ \( a \)

\( a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 \): إيجاد الحدود الثلاثة عندما \( r = 4 \)

\( a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 \): إيجاد الحدود الثلاثة عندما \( r = 1/4 \)

\( T_1 + T_2 = 3.5 \): حيث \( T_1 \) هو زمن وصول الصخرة إلى قاع البئر، و \( T_2 \) هو زمن صعود صوت الاصطدام إلى قمة البئر.

\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 \): نظراً لأن كلا الحدين يمثلان نفس المسافة، وهي عمق البئر.

حل بالنسبة لـ \( T_2 \): \( T_2 = 3.5 - T_1 \)

التعويض بـ \( T_2 \) في المعادلة: \( 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) \)

حل بالنسبة لـ \( T_1 \): \( T_1 = 3.34 \) ثانية

أخيراً، حساب عمق البئر: \( \text{الارتفاع} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \) قدم (لأقرب عدد صحيح).

\( S_1 \times t_1 = 1400 \): \( S_1 \) هي سرعة القارب الأول، و \( t_1 \) هو زمن قطع مسافة 1400 متر.

\( 1400 + S_2 \times t_1 = X \): \( S_2 \) هي سرعة القارب الثاني، و \( X \) هو العرض.

\( S_1 \times t_2 = X + 600 \): \( t_2 \) هو زمن قطع مسافة \( X + 600 \) متر للقارب الأول.

\( S_2 \times t_2 = 2X - 600 \)

\( S_1 = \dfrac{1400}{t_1} \)

\( S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} \)

لتكن \( T = \dfrac{t_2}{t_1} \)

التعويض في المعادلات: \( 1400 \times T = X + 600 \) و \( X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 \)

حل النظام بالنسبة لـ \( X \): \( X = 3600 \) متر.

حل نظام أول معادلتين للحصول على الحل \( (2, -3) \).

يجب أن تحقق النقطة \( (2, -3) \) المعادلتين الأخيرتين:

\( a(2) + b(-3) = 4 \)

\( 2a(2) - b(-3) = 2 \)

حل بالنسبة لـ \( a \) و \( b \): \( a = 1, b = -\dfrac{2}{3} \).

ميل \( AB \) هو \( -3 \) لأنه عمودي على \( OB \) (ميله \( 1/3 \)).

معادلة \( AB \): \( y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 \).

النقطة \( B \): حل نظام \( y = -3x + 20 \) و \( y = x/3 \implies B(6,2) \).

النقطة \( A \): حل نظام \( y = -3x + 20 \) و \( y = 2x \implies A(4,8) \).

\( \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \)

\( \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} \)

\( \text{المساحة} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 \).

ليكن \( t \) زمن المضخة B؛ وتستغرق المضخة A زمنًا قدره \( t - 2 \). عملت A لمدة 4 ساعات، وعملت B لمدة ساعتين.

\( \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) \)

\( 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 \). الحل المقبول هو \( t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).

زمن المضخة A هو \( t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).

الزمن اللازم للـ 40% المتبقية: \( \text{الزمن} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \) ساعة.

ليكن \( x \) و \( y \) هما عدد التلاميذ في المدرستين A و B على التوالي. وليكن \( b_A, g_A, b_B \text{ و } g_B \) هي أعداد الأولاد والبنات في المدرستين A و B على التوالي

\( x = y/2 \)، \( b_B = 3b_A \).

معطى أن \( b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 \).

\( g_B = \dfrac{5}{3} g_A \). بما أن \( 2(100 + g_A) = 300 + g_B \):

\( 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 \).

المدرسة A: 100 ولد، 300 بنت. المدرسة B: 300 ولد، 500 بنت.

ليكن \( L \) و \( S \) معدلي الملء لمضخة كبيرة واحدة ومضخة صغيرة واحدة على التوالي

\( 2(4L + 2S) = 1 \) و \( 2(2L + 6S) = 1 \). بالحل: \( L = 1/10, S = 1/20 \).

المعدل الإجمالي لـ 8 مضخات كبيرة و8 مضخات صغيرة: \( 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 \) من الحوض في الساعة.

الزمن لـ 50% (أي 0.5): \( \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \) ساعة = 25 دقيقة.