مسائل تدريبية
-
في حقيبة مليئة بالكرات الصغيرة، \(\dfrac{1}{4}\) هذه الكرات خضراء، \(\dfrac{1}{8}\) زرقاء، \(\dfrac{1}{12}\) صفراء، والباقي وهو \(26\) كرة بيضاء. كم عدد الكرات الزرقاء؟
عرض الحل
لنعرّف العدد الإجمالي للكرات في الحقيبة بأنه \(N\).
مجموع أجزاء الكرات الخضراء والزرقاء والصفراء معاً:
\[\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{24} + \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{11}{24}\]كسر الكرات البيضاء:
\[\dfrac{24}{24} - \dfrac{11}{24} = \dfrac{13}{24}\]بما أن الـ 26 كرة بيضاء تُمثل \(\dfrac{13}{24}\) من الإجمالي:
\[\dfrac{13}{24}N = 26 \implies N = 26 \times \dfrac{24}{13} = 48\]عدد الكرات الزرقاء:
\[\dfrac{1}{8} \times 48 = 6\]الإجابة: 6 كرات زرقاء.
-
في مدرسة ما، \(50\%\) من الطلاب أصغر من \(10\) سنوات، و \(\dfrac{1}{20}\) من الطلاب أعمارهم \(10\) سنوات، و \(\dfrac{1}{10}\) من الطلاب أعمارهم أكبر من \(10\) وأصغر من \(12\). وباقي الطلاب البالغ عددهم \(70\) طالباً أعمارهم \(12\) سنة أو أكثر. كم عدد الطلاب الذين أعمارهم \(10\) سنوات؟
عرض الحل
ليكن \(N\) هو العدد الإجمالي للطلاب.
كسر الطلاب الذين تقل أعمارهم عن 12 سنة:
\[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{10}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{2}{20} = \dfrac{13}{20}\]كسر الطلاب الذين أعمارهم 12 سنة أو أكثر:
\[1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}\]نعلم أن هؤلاء الطلاب المتبقين يساوي 70:
\[\dfrac{7}{20}N = 70 \implies N = 70 \times \dfrac{20}{7} = 200\]عدد الطلاب الذين أعمارهم 10 سنوات:
\[\dfrac{1}{20} \times 200 = 10\]الإجابة: 10 طلاب أعمارهم 10 سنوات.
-
إذا تم مضاعفة طول ضلع مربع، فما هي نسبة مساحة المربع الأصلي إلى مساحة المربع الجديد؟
عرض الحل
ليكن طول ضلع المربع الأصلي هو \(s\).
مساحة المربع الأصلي هي \(A_1 = s^2\).
إذا تم مضاعفة طول الضلع، يصبح طول الضلع الجديد \(2s\)، مما يجعل المساحة الجديدة:
\[A_2 = (2s)^2 = 4s^2\]نسبة المساحتين هي:
\[\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{s^2}{4s^2} = \dfrac{1}{4}\]الإجابة: النسبة هي 1:4.
-
قسمة عدد صحيح \(N\) على \(13\) تعطي خارج قسمة يساوي \(15\) وباقياً يساوي \(2\). أوجد قيمة \(N\).
عرض الحل
باستخدام خوارزمية القسمة: \(N = \text{المقسوم عليه} \times \text{خارج القسمة} + \text{الباقي\).
\[N = 13 \times 15 + 2\]
\[N = 195 + 2 = 197\]
الإجابة: \(N = 197\).
-
في المستطيل أدناه، يقطع الخط \(MN\) المستطيل إلى منطقتين. أوجد \(x\) (طول القطعة المستقيمة \(NB\)) لكي تكون مساحة الشكل الرباعي \(MNBC\) مساوية لـ \(40\%\) من المساحة الكلية للمستطيل.
عرض الحل
من الرسم، الطول الإجمالي هو \(AB = 20 + x\).
احسب المساحة الكلية للمستطيل \(ABCD\):
\[\text{المساحة} = (20 + x) \times 10 = 200 + 10x\]احسب \(40\%\) من هذه المساحة الكلية:
\[\text{مساحة } MNBC = 0.4 \times (200 + 10x) = 80 + 4x\]القطعة \(MC\) تُحسب كالتالي: \(MC = (20 + x) - 5 = 15 + x\).
الشكل الرباعي \(MNBC\) هو شبه منحرف. احسب مساحته باستخدام قانون شبه المنحرف:
\[A = \dfrac{1}{2} \times \text{الارتفاع} \times (NB + MC)\]
\[A = \dfrac{1}{2} \times 10 \times (x + 15 + x) = 5(2x + 15) = 10x + 75\]ساوِ بين تعبيري مساحة \(MNBC\):
\[10x + 75 = 80 + 4x\]
\[6x = 5 \implies x = \dfrac{5}{6}\]الإجابة: \(x = \dfrac{5}{6}\) متراً.
-
ركض شخص \(10\) مرات على طول محيط حقل مستطيل الشكل بمعدل \(12\) كيلومتراً في الساعة لمدة \(30\) دقيقة. إذا كان طول الحقل ضعف عرضه، فأوجد مساحة الحقل بالأمتار المربعة.
عرض الحل
أولاً، حول الوقت إلى ساعات: \(30 \text{ دقيقة} = 0.5 \text{ ساعة\).
احسب المسافة الإجمالية المقطوعة ركضاً:
\[\text{المسافة} = 12 \text{ كم/س} \times 0.5 \text{ ساعة} = 6 \text{ كم} = 6000 \text{ متر\]بما أن العداء ركض 10 دورات، فإن محيط الحقل هو:
\[6000 \div 10 = 600 \text{ متر\]ليكن العرض هو \(W\). الطول \(L = 2W\). قانون المحيط هو:
\[2(L + W) = 600\]
\[2(2W + W) = 600 \implies 6W = 600 \implies W = 100 \text{ متر\]الطول \(L = 200 \text{ متر\).
المساحة = \(L \times W = 200 \times 100 = 20,000 \text{ متر مربّع\).
الإجابة: \(20,000 \text{ م}^2\).
-
قُطعت أربعة مثلثات قائمة الزاوية ومطابقة (متطابقة الساقين) من الزوايا الأربع لمربع طول ضلعه \(20\) وحدة. طول ضلع القائمة في هذه المثلثات هو \(4\) وحدات. ما هي مساحة الشكل الثماني الباقي؟
عرض الحل
مساحة المربع الأصلي:
\[A_{\text{المربع}} = 20 \times 20 = 400\]مساحة المثلث القائم المتطابق الساقين الواحد:
\[A_{\text{المثلث}} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8\]مساحة المثلثات الأربعة مجتمعة:
\[4 \times 8 = 32\]مساحة الشكل الثماني المتبقي:
\[400 - 32 = 368\]الإجابة: \(368\) وحدة مربعة.
-
تسير سيارة بسرعة \(75\) كيلومتراً في الساعة. كم متراً تقطع السيارة في دقيقة واحدة؟
عرض الحل
حول الكيلومترات إلى أمتار: \(75 \text{ كم} = 75,000 \text{ متر\).
حول الساعات إلى دقائق: \(1 \text{ ساعة} = 60 \text{ دقيقة\).
اقسم المسافة على الوقت:
\[\dfrac{75,000 \text{ م}}{60 \text{ دقيقة}} = 1250 \text{ م/دقيقة}\]الإجابة: \(1250\) متراً في الدقيقة.
-
أنفقت ليندا \(\dfrac{3}{4}\) مدخراتها على الأثاث والباقي على جهاز تلفزيون. إذا كلفها التلفزيون \(\$200\)، فما هي مدخراتها الأصلية؟
عرض الحل
كسر المدخرات المنفق على التلفزيون هو:
\[1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\]ليكن \(S\) هو المدخرات الأصلية. نعلم أن \(\dfrac{1}{4}\) مدخراتها يساوي \(\$200\):
\[\dfrac{1}{4}S = 200 \implies S = 200 \times 4 = 800\]الإجابة: \(\$800\).
-
ارتفاع الماء في وعاء أسطواني نصف قطره \(r\) هو \(15\text{ سم}\). ما هو ارتفاع هذه الكمية من الماء إذا صُبت في وعاء أسطواني نصف قطره \(2r\)؟
عرض الحل
حجم الماء في الأسطوانة الأولى هو:
\[V_1 = \pi r^2 \times 15\]حجم الماء في الأسطوانة الثانية هو:
\[V_2 = \pi (2r)^2 \times h = \pi (4r^2) \times h\]بما أن الحجم يظل كما هو، ساوِ بين \(V_1 = V_2\):
\[15\pi r^2 = 4\pi r^2 h\]
\[15 = 4h \implies h = \dfrac{15}{4} = 3.75\]الإجابة: \(3.75\text{ سم}\).
-
اشترى ستيوارت سترة بخصم قدره \(30\%\) من السعر الأصلي وخصم إضافي بنسبة \(25\%\) من السعر المخفض. إذا كان السعر الأصلي للسترة \(\$30\)، فما هو السعر النهائي للسترة؟
عرض الحل
السعر بعد الخصم الأول بنسبة \(30\%\):
\[30 - (0.30 \times 30) = 30 - 9 = \$21\]السعر بعد الخصم الثاني بنسبة \(25\%\):
\[21 - (0.25 \times 21) = 21 - 5.25 = \$15.75\]الإجابة: \(\$15.75\).
-
اشترى جون قميصاً بخصم قدره \(25\%\) من السعر الأصلي وخصم إضافي بنسبة \(25\%\) من السعر المخفض. إذا كان السعر النهائي \(\$16\)، فما هو السعر قبل الخصم الأول؟
عرض الحل
ليكن \(P\) هو السعر الأصلي.
بعد الخصم الأول بنسبة \(25\%\)، يصبح السعر \(0.75P\).
بعد الخصم الثاني بنسبة \(25\%\)، يصبح السعر:
\[0.75P \times 0.75 = 0.5625P\]نعلم أن السعر النهائي هو \(\$16\):
\[0.5625P = 16 \implies P = \dfrac{16}{0.5625} \approx 28.444...\]الإجابة: تقريباً \(\$28.44\).
-
كم بوصة توجد في \(2000\) ملمتر؟ (قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة من البوصة).
عرض الحل
نعلم أن \(1\text{ بوصة} = 25.4\text{ ملم}\).
اقسم إجمالي المليمترات على معامل التحويل:
\[2000 \div 25.4 \approx 78.7401...\]الإجابة: \(78.74\text{ بوصة}\).
-
ملعب المدرسة المستطيل الخاص بتيم يبلغ طوله ثلاثة أمثال عرضه. مساحة الملعب هي \(75\text{ م}^2\). ما هو محيط الملعب؟
عرض الحل
ليكن العرض = \(W\) والطول = \(3W\).
المساحة = الطول \(\times\) العرض:
\[3W \times W = 75 \implies 3W^2 = 75 \implies W^2 = 25 \implies W = 5\text{ متر}\]الطول هو \(L = 3 \times 5 = 15\text{ متر\).
المحيط = \(2(L + W)\):
\[2(15 + 5) = 2(20) = 40\text{ متر}\]الإجابة: \(40\text{ متراً}\).
-
كان لدى جون مخزون من \(1200\) كتاباً في مكتبته. باعت المكتبة \(75\) كتاباً يوم الاثنين، و \(50\) يوم الثلاثاء، و \(64\) يوم الأربعاء، و \(78\) يوم الخميس، و \(135\) يوم الجمعة. ما هي نسبة الكتب التي لم تُبَع؟
عرض الحل
احسب إجمالي عدد الكتب المباعة:
\[75 + 50 + 64 + 78 + 135 = 402\]احسب الكتب التي لم تُبَع:
\[1200 - 402 = 798\]أوجد النسبة المئوية:
\[\left( \dfrac{798}{1200} \right) \times 100 = 66.5\%\]الإجابة: \(66.5\%\).
-
\(N\) هو أحد الأعداد أدناه. \(N\) هو عدد بحيث إذا ضُرب في \(0.75\) كان الناتج \(1\). أي عدد يساوي \(N\)؟
أ) \(1 \dfrac{1}{2}\) ب) \(1 \dfrac{1}{3}\) ج) \(\dfrac{5}{3}\) د) \(\dfrac{3}{2}\)عرض الحل
كوّن المعادلة:
\[N \times 0.75 = 1 \implies N = \dfrac{1}{0.75}\]بما أن \(0.75 = \dfrac{3}{4}\)، يمكننا إعادة الكتابة:
\[N = 1 \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\]حوّل الخيارات إلى كسور غير حقيقية للمقارنة:
أ) \(1 \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
ب) \(1 \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}\)الإجابة: ب.
-
في عام \(2008\)، بلغ عدد سكان العالم حوالي \(6,760,000,000\) نسمة. اكتب تعداد سكان العالم لعام \(2008\) بالصيغة العلمية.
عرض الحل
للتحويل إلى الصيغة العلمية \(m \times 10^n\) (حيث \(1 \le |m| < 10\))، حرّك العلامة العشرية \(9\) منازل إلى اليسار.
الإجابة: \(6.76 \times 10^9\).