الأسس السالبة: أسئلة وحلول خطوة بخطوة - الصف الثامن

صُممت هذه الصفحة لمساعدة الطلاب، أولياء الأمور، والمعلمين على إتقان موضوع الأسس السالبة من خلال أسئلة مختارة بعناية وحلول مفصلة خطوة بخطوة مع الشرح. قم بتوسيع الحلول المخفية أسفل كل سؤال للكشف عن القواعد الأساسية والاستدلال وراء كل خطوة.

تغطي الأسئلة الموجودة على هذه الصفحة مهارات جبرية أساسية، بما في ذلك:

مراجعة: القواعد الأساسية للأسس

اسم القاعدة الصيغة
قاعدة الأس السالب \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
أس سالب على كسر \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \)
قوة حاصل الضرب \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
قوة خارج القسمة \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
قاعدة الأس الصفر \( a^0 = 1 \)   (حيث \( a \neq 0 \))

أسئلة التدريب والحلول

  1. بسط التعبير: \( 5^{-2} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: طبق قاعدة الأس السالب \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \).
    \[ 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} \]
    الخطوة 2: احسب المربع في المقام.
    \[ = \dfrac{1}{25} \]
  2. احسب قيمة: \( \left( -\dfrac{1}{3} \right)^{-2} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: استخدم قاعدة الأس السالب للكسر \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n \). اقلب الكسر واجعل الأس موجباً.
    \[ \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{1}\right)^2 \]
    الخطوة 2: بسط الكسر داخل القوسين.
    \[ = (-3)^2 \]
    الخطوة 3: مربع العدد السالب يصبح موجباً.
    \[ = 9 \]
  3. بسط التعبير: \( \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: طبق قاعدة الأس السالب لنقل العوامل عبر خط الكسر. الأس السالب في البس ينتقل إلى المقام، والأس السالب في المقام ينتقل إلى البسط.
    \[ \dfrac{5^{-1}}{3^{-1}} = \dfrac{3^1}{5^1} \]
    الخطوة 2: بسط.
    \[ = \dfrac{3}{5} \]
  4. احسب قيمة: \( (2^{-3}) \times (3^{-2}) \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: أعد كتابة كل حد باستخدام قاعدة الأس السالب.
    \[ (2^{-3})(3^{-2}) = \dfrac{1}{2^3} \times \dfrac{1}{3^2} \]
    الخطوة 2: احسب الأسس.
    \[ = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{9} \]
    الخطوة 3: اضرب الكسرين.
    \[ = \dfrac{1}{72} \]
  5. بسط التعبير: \( -2^{-3} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: فهم ترتيب العمليات. الأس ينطبق فقط على الأساس \(2\)، وليس على الإشارة السالبة.
    \[ -2^{-3} = -\left(2^{-3}\right) \]
    الخطوة 2: طبق قاعدة الأس السالب على الأساس.
    \[ = -\left(\dfrac{1}{2^3}\right) \]
    الخطوة 3: احسب قيمة الأس.
    \[ = -\dfrac{1}{8} \]
  6. احسب قيمة: \( -1^{-3} + 2^{-3} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: احسب الأسس قبل الجمع أو النفي. لاحظ أنه في التعبير \( -1^{-3} \)، ينطبق الأس فقط على \(1\).
    \[ -\left(\dfrac{1}{1^3}\right) + \dfrac{1}{2^3} \]
    الخطوة 2: احسب قيم المقامين.
    \[ = -1 + \dfrac{1}{8} \]
    الخطوة 3: أوجد مقاماً مشتركاً لجمع الحدين.
    \[ = -\dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{7}{8} \]
  7. احسب قيمة: \( (-1)^{-4} + 2^{-3} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: هنا، الأقواس تعني أن الإشارة السالبة هي جزء من الأساس. طبق قاعدة الأس السالب.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^4} + \dfrac{1}{2^3} \]
    الخطوة 2: احسب قيم الأسس. العدد السالب مرفوع لأس زوجي يصبح موجباً.
    \[ = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{8} = 1 + \dfrac{1}{8} \]
    الخطوة 3: أوجد مقاماً مشتركاً للجمع.
    \[ = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8} \]
  8. بسط التعبير: \( \left( -4^{-2} \right) \left( 2^{2} \right) \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: تعامل مع الحد الأول. الأس \(-2\) ينطبق فقط على \(4\)، وليس على الإشارة السالبة.
    \[ \left(-\dfrac{1}{4^2}\right) \times (2^2) \]
    الخطوة 2: احسب قيم الأسس.
    \[ = \left(-\dfrac{1}{16}\right) \times 4 \]
    الخطوة 3: اضرب وبسط الكسر.
    \[ = -\dfrac{4}{16} = -\dfrac{1}{4} \]
  9. احسب قيمة: \( (-1)^{-3} + 2^{0} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: طبق قاعدة الأس السالب على الحد الأول، وتذكر قاعدة الأس الصفري (\(a^0 = 1\)) للحد الثاني.
    \[ \dfrac{1}{(-1)^3} + 1 \]
    الخطوة 2: احسب قيمة الأس. العدد السالب مرفوع لأس فردي يظل سالباً.
    \[ = \dfrac{1}{-1} + 1 \]
    الخطوة 3: بسط.
    \[ = -1 + 1 = 0 \]
  10. احسب قيمة: \( 0^{-3} \)
    عرض الحل خطوة بخطوة
    الخطوة 1: أعد الكتابة باستخدام قاعدة الأس السالب.
    \[ 0^{-3} = \dfrac{1}{0^3} \]
    الخطوة 2: احسب قيمة المقام.
    \[ = \dfrac{1}{0} \]
    الخطوة 3: القسمة على صفر مستحيلة رياضياً. لذلك، التعبير غير معرف.

المراجع وروابط مفيدة