صُمم هذا الدرس لطلاب الصف التاسع لإتقان العمليات المتعلقة بـ وحدات الحد (المونوميال). وحدة الحد هي عبارة جبرية مفردة تتكون من عدد حقيقي مضروب في متغيّرات مرفوعة لأسس صحيحة غير سالبة.
ستجد أدناه أمثلة واضحة توضح كيفية تحديد المعاملات، بالإضافة إلى كيفية جمع، طرح، ضرب، وقسمة وحدات الحد. بمجرد مراجعة الأمثلة، اختبر فهمك باستخدام أسئلة التدريب، والتي تتضمن حلول تفاعلية خطوة بخطوة.
1. فهم معاملات وحدات الحد
خذ عدداً مثل \(-2\)، ومتغيّراً له أس مثل \(x^2\)، واضربهما معاً: \(-2 \times x^2\). للبسّاطة، نزيل رمز الضرب ونكتبها كوحدة حد: \(-2x^2\).
تتضمن الأمثلة القياسية لوحدات الحد ما يلي: \( x \)، \( 2x \)، \( 3x^2 \)، \( -0.1x \)، \( -\dfrac{3}{4}x^2y^2 \)، \( -y \).
التعريف: المعامل
معامل وحدة الحد هو الجزء العددي الموجود في مقدمة التعبير.
المثال 1: تحديد المعاملات
- معامل \( \color{red}{2}x \) هو \(2\).
- معامل \( \color{red}{-3}x^2 \) هو \(-3\).
- معامل \( \color{red}{-\dfrac{5}{2}}y^3x \) هو \(-\dfrac{5}{2}\).
- معامل \( x \) (وهو \( \color{red}{1}x \)) هو \(1\). ملاحظة: نكتب \(x\) ولا نكتب \(1x\).
- معامل \( -x^2 \) (وهو \( \color{red}{-1}x^2 \)) هو \(-1\). ملاحظة: نكتب \(-x^2\) ولا نكتب \(-1x^2\).
2. جمع وطرح وحدات الحد
يمكننا فقط جمع وطرح وحدات الحد التي تكون حدوداً متشابهة (بمعنى أن لها نفس المتغيرات بالضبط والمرفوعة لنفس الأسس).
- \( -3x^2 \) و \( 4x^2 \) و \( -x^2 \) هي حدود متشابهة ويمكن جمعها.
- \( -y^2x \) و \( 4y^2x \) و \( -xy^2 \) هي حدود متشابهة ويمكن جمعها. (ملاحظة: \(xy^2\) و \(y^2x\) متطابقان).
المثال 2: الجمع والطرح
أ) \( 2x + 4x \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{2}x + \color{red}{4}x &= \color{red}{(2 + 4)}x \quad && \text{(إخراج المتغير } x \text{ كعامل مشترك)} \\ &= 6x \quad && \text{(جمع المعاملات)} \end{aligned} \]
ب) \( 3x^2 - x^2 \)
\[ \begin{aligned} \color{red}{3}x^2 \color{red}{- 1}x^2 &= \color{red}{(3 - 1)}x^2 \quad && \text{(إخراج المتغير } x^2 \text{ كعامل مشترك)} \\ &= 2x^2 \quad && \text{(طرح المعاملات)} \end{aligned} \]
ج) \( 3x^2y - x^2y + 4yx^2 \)
\[ \begin{aligned} 3x^2y - 1x^2y + 4x^2y &= \color{red}{(3 - 1 + 4)}x^2y \quad && \text{(تجميع المعاملات)} \\ &= 6x^2y \end{aligned} \]
3. ضرب وحدات الحد
قاعدة ضرب الأسس
يمكنك ضرب أي وحدتي حد؛ ولا يشترط أن يكونا حدين متشابهين. استخدم قاعدة الضرب للأسس:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
المثال 3: الضرب
أ) \( (x)(6x) \)
\[ \begin{aligned} (\color{red}{1}\color{blue}{x})(\color{red}{6}\color{blue}{x}) &= \color{red}{(1 \cdot 6)}\color{blue}{(x \cdot x)} \quad && \text{(تجميع المعاملات والمتغيرات)} \\ &= 6x^{1+1} = 6x^2 \quad && \text{(تطبيق قاعدة الأسس)} \end{aligned} \]
ب) \( (5x^2y)(-y^2x) \)
\[ \begin{aligned} (5x^2y)(-1y^2x) &= (5 \cdot -1)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^2) \\ &= -5 x^{2+1} y^{1+2} \\ &= -5x^3y^3 \end{aligned} \]
4. قسمة وحدات الحد
قاعدة قسمة الأسس
يمكنك قسمة أي وحدتي حد طالما أن المقسوم عليه لا يساوي الصفر. استخدم قاعدة القسمة للأسس:
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)
المثال 4: القسمة
أ) \( \dfrac{-x^2}{x} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{\color{red}{-1}\color{blue}{x^2}}{\color{red}{1}\color{blue}{x}} &= \color{red}{\dfrac{-1}{1}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^2}{x}} \\ &= -1 \cdot x^{2-1} \\ &= -x \end{aligned} \]
ب) \( \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} \)
\[ \begin{aligned} \dfrac{-2x^4y^3}{6x^2y^2} &= \color{red}{\dfrac{-2}{6}} \cdot \color{blue}{\dfrac{x^4}{x^2}} \cdot \color{green}{\dfrac{y^3}{y^2}} \\ &= -\dfrac{1}{3} \cdot x^{4-2} \cdot y^{3-2} \\ &= -\dfrac{1}{3}x^2y \end{aligned} \]