حلول لأسئلة ممارسة الرياضيات EmSAT - نموذج 1

يتم تقديم حلول EmSAT للرياضيات أسئلة التدريب جنبًا إلى جنب مع الشروحات التفصيلية.

Algebra Questions to Practice for the EmSAT

حل سؤال 1
بالنظر إلى المعادلة $ 4 = -(x +2)(x-1) $.
انشر الجانب الأيمن من المعادلة.
$ 4 = -x^2-x+2 $
أعد كتابة المعادلة بحيث يكون الطرف الأيمن يساوي صفرًا.
$x^2 + x + 2 = 0 $
المعادلة من الدرجة الثانية مع المعاملات
$ a = 1 , b = 1 , c = 2 $
احسب المميز
$ \Delta = b^2 - 4 a c = 1^2 - 4(1)(2) = -7$
المميز سالب وبالتالي تحتوي المعادلة على حلين مركبين مقدمين بواسطة
$x_1 = \dfrac {-b - \sqrt {\Delta}} {2 a} = \dfrac {- 1 - \sqrt {-7}} {2} = \dfrac {-1} {2} -i \dfrac {\sqrt {7}} {2} $

$x_2 = \dfrac {-b + \sqrt {\Delta}} {2 a} = \dfrac {- 1 + \sqrt {-7}} {2} = \dfrac {-1} {2} + i \dfrac {\sqrt {7}} {2} $

ملاحظة $\sqrt {-7} = \sqrt {-1} \sqrt {7} = i \sqrt {7} $ ، بالأرقام المركبة $ i = \sqrt{-1} $
الجواب: D
حل سؤال 2
بالنظر إلى المعادلات $ 9^{-x\left(-x+5\right)}\:= \dfrac{1}{3^{-12}} $.
تتمثل إحدى طرق حل المعادلة أعلاه في إعادة كتابة الأس في طرفي المعادلة على نفس الأساس.
لدينا قاعدتان $9 $ و $3 $. من الأسهل العمل مع القاعدة الصغيرة على النحو التالي.
$9 = 3 ^ 2 $
أعد كتابة المعادلة أعلاه مع استبدال $9 $ بـ $3 ^ 2 $

$(3 ^ 2) ^ {- x \left (-x + 5 \right)} \; = \dfrac {1} {3 ^ {- 12}} $.

استخدم قاعدة الأس $(a ^ m) ^ n = a ^ {m\cdot n} $ في الجانب الأيسر.

$3 ^ {2 (-x \left (-x + 5 \right))} \: = \dfrac {1} {3 ^ {- 12}} $

استخدم قاعدة الأس $\dfrac {1} {a ^ {- n}} = a ^ n $ في الجانب الأيمن من المعادلة.

$ 3^{2(-x\left(-x+5\right))}\:= 3^{12} $
نظرًا لأن الأسس متساوية ، فإننا نستنتج أن الأسس متساويان أيضًا ، ومن هنا جاءت المعادلة
$ 2(-x\left(-x+5\right)) = 12 $
انشر الطرف الأيسر من المعادلة
$ 2x^2-10x = 12 $
أعد كتابة المعادلة بحيث يكون الطرف الأيمن يساوي صفرًا.
$2x ^ 2 - 10x - 12 = 0 $
حل المعادلة أعلاه من أجل $ x $ باستخدام أي طريقة للحصول عليها.
$x = - 1 $ و $x = 6 $
الجواب: C
حل سؤال 3
بالنظر إلى التعبير $\dfrac {1} {3 + \sqrt {-4}} $.
أولًا أعد كتابة $\sqrt {-4} $ بتنسيق
$\sqrt {-4} = \sqrt {-1} \sqrt {4} $
حسب التعريف ، $\sqrt {-1} $ هي الوحدة التخيلية $i $ ، وبالتالي
$\sqrt {-4} = \sqrt {-1} \sqrt {4} = (i) (2) = 2 i $
يمكن إعادة كتابة التعبير المعطى كـ
$\dfrac {1} {3 + \sqrt {-4}} = \dfrac {1} {3 + 2 i} $
اضرب البسط والمقام في $3 - 2 i $ وهو مرافق المقام $3 + 2 i $.
$= \dfrac {1} {3 + 2 i} \times \color {red} {\dfrac {3-2i} {3-2i}} $
تبسيط
$= \dfrac {3-2i} {9 + 4} = \dfrac {3-2i} {13} = \dfrac {3} {13} - i \dfrac {2} {13} $
الجواب:A
حل سؤال 4
بالنظر إلى التعبير $ -2(4 - i) $.
وزع $ - 2 $ لإعادة كتابة التعبير المعطى كـ
$ -2(4 - i) = -8 + 2 i $
الجزء الحقيقي $ -8 $ سالب والجزء التخيلي $ 2 $ موجب. الرسم البياني كرقم مركب للتعبير المعطى يقع في الربع الثاني
الجواب: D
حل سؤال 5
لنفترض أن $ x $ هي المسافة المقطوعة بالكيلومترات التي يجب حسابها.
دفع أحمد مبلغ 261 درهمًا يشمل:
1) رسم ثابت قدره 80 درهمًا في اليوم. لمدة يومين دفع $ 2 \times 80 $
2) عن كل كيلومتر يدفع 20 فلس = 0.20 درهم. مقابل $ x $ كيلومترات دفع $ 0.20 \times x $
ومن ثم ، يمكن كتابة إجمالي 261 درهمًا إماراتيًا دفعه كمجموع الجزئين 1) و 2) كما هو موضح أعلاه.
$ 261 = 2 \times 80 + 0.20 \times x $
نحل الآن من أجل $ x $
كيلومتر $ x = \dfrac{261 - 2\times 80}{0.20} = 505 $
الجواب:B
حل سؤال 6
بالنظر إلى نظام المعادلات \[ \begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}=1\\\\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=2 \end{cases} \]
تتمثل إحدى طرق حل النظام أعلاه في إعادة كتابته بدون كسور
اضرب كل عنصر المعادلة الأولى في المقام 2 وكل عنصر المعادلة الثانية بحاصل ضرب المقامين $ 3 \times 4 $
\[ \begin{cases} \color{red}{2}\dfrac{x}{2}+\color{red}{2} \dfrac{y}{2} = \color{red}{2} (1)\\\\ \color{red}{3 \times 4}\dfrac{x}{3}+\color{red}{3 \times 4} \dfrac{y}{4} = \color{red}{3 \times 4} (2) \end{cases} \]
تبسيط
\[ \begin{cases} x + y =2\\\\ 4 x + 3 y = 24 \end{cases} \]
يمكنك استخدام أي طريقة لحل النظام أعلاه. دعونا نستخدم طريقة الإزالة.
اضرب جميع حدؤد المعادلة الأولى في النظام أعلاه في $ - 3 $ للحصول على
\[ \begin{cases} - 3 x - 3 y = - 6\\\\ 4 x + 3 y = 24 \end{cases} \]
أضف المعادلتين الأولى والثانية وضع الإجابة في الصف الأول من النظام
\[ \begin{cases} x = 18\\\\ 4 x + 3 y = 24 \end{cases} \]
عوّض $ x $ بـ \ $ 18 $ في المعادلة $ x + y = 2 $ وحل من أجل $ y $
$ 18 + y = 2 $
$ y = - 16$
يمكن كتابة الحل كزوج مرتب $ (x,y) $
$ (18,-16) $
الجواب: C
حل سؤال 7
معطيات $ \dfrac{x^2 - 4y^2}{2y - x} $
نحتاج أولًا إلى تحليل البسط والمقام حتى نتمكن من تبسيط المقدار المعطى.
يحتوي البسط على شكل الفرق بين مربعين والذي يمكن تحليله إلى عوامل على النحو التالي: $ a^2 - b^2 = (a - b)(a +b) $. لذلك
$ \dfrac{x^2 - 4y^2}{2y - x} = \dfrac{(x - 2y)(x+2y)}{2y - x} $
يمكن كتابة المقام $ 2y - x $ بالشكل
$ 2y - x = - (x - 2y) $
استخدم ما ورد أعلاه لإعادة كتابة التعبير المعطى كـ
$ = \dfrac{(x - 2y)(x+2y)}{-(x - 2y)} $
اقسم البسط والمقام على العامل المشترك $ x - 2y $ للحصول على
$ = - (x + 2 y ) = - x - 2 y $
حل سؤال 8
معطيات: $ \sqrt{200} + \sqrt{32} $.
لتجميع الراديكاليين ، نحتاج إلى الحصول على نفس العدد تحت الجذور ؛ يطلق عليه اسم الجذر. نحتاج أيضًا إلى التعبير عن $ 200 $ و $ 32 $ كحاصل ضرب مربعات كاملة
$ 200 = 2 \times 100 = 2 \times 10^2 $
$ 32 = 2 \times 16 = 2 \times 4^2 $
يمكن إعادة كتابة التعبير المعطى كـ
$ \sqrt{200} + \sqrt{32} = \sqrt{2 \times 10^2} + \sqrt{2 \times 4^2} $
استخدم القاعدة $ \sqrt {a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} $
$ = \sqrt{2} \times \sqrt{10^2} + \sqrt{2} \times \sqrt{4^2} $
التبسيط والتجميع
$ = 10 \sqrt 2 + 4 \sqrt 2 = 14 \sqrt 2 $
الجواب: B
حل سؤال 9
إعطاء النقطة $ (a , - 3) $ ومعادلة المنحنى $ y = x(x-2) $.
لكي تكون نقطة على الرسم البياني للمنحنى ، يجب أن تفي إحداثياتها بالمعادلة.
استبدل إحداثيات $ x $ و $ y $ للنقطة المعينة في معادلة المنحنى
$ -3 = a(a-2) $
قم بتوسيع الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه
$ - 3 = a^2 - a $
أعد الكتابة بحد أيمن يساوي صفرًا.
$ a^2 - a + 3 = 0 $
إنها معادلة من الدرجة الثانية مع تمييز
$ \Delta = (-1)^2 - 4(1)(3) = -11$
نظرًا لأن المميز سالب ، فإن المعادلة أعلاه ليس لها حل حقيقي ، وبالتالي لا توجد قيمة لـ $ a $ والتي يكون $ (a , - 3) $ على الرسم البياني للمنحنى.
الجواب: C
حل سؤال 10
بالنظر إلى المعادلة $ \log_4(x) - \log_4(x+10) = -\log_4(x-2)$.
أعد كتابة المعادلة كـ
$ \log_4(x) + \log_4(x-2) = \log_4(x+10) $
استخدم القاعدة اللوغاريتمية $ \log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B) $ على الجانب الأيمن لإعادة كتابة المعادلة كـ
$ \log_4 (x(x-2)) = \log_4(x+10) $
مما يعطي المعادلة الجبرية
$ x(x-2) = (x+10) $
انشر الطرف الأيسر وأعد الكتابة بالطرف الأيمن يساوي 0.
$ x^2-3x-10 = 0 $
حل باستخدام أي طريقة للحصول على حلين
$ x_1 = - 2 $ , $ x_1 = 5 $
ملاحظة: نحن بحاجة إلى التحقق من الحلول في المعادلة المعطاة بسبب مجال الدوال اللوغاريتمية.
تحقق من x = -2
الجانب الأيسر من المعادلة
$ log_4(-2) - \log_4(-2+10) $
x = - 2 لا يمكن أن يكون حلاً لأن لوغاريتم الرقم الحقيقي ليس حقيقيًا.
تحقق من x = 5
الجانب الأيسر من المعادلة: $ \log_4(5) - \log_4(5+10) $
تبسيط
$ = \log_4(5) - \log_4(15) $
تجميع باستخدام الصيغة $ \log_b(A) - \log_b(B) = \log_b(A / B) $
$ = \log_4(5/15) $
تبسيط
$ = \log_4(1/3) = \log_4(1) - \log_4(3) = 0 - \log_4(3) = - \log_4(3) $
الجانب الأيمن: $ -\log_4(5-2) = - \log_4(3)$.
كلا الطرفين متساويان وبالتالي $x = 5 $ هو حل للمعادلة المعطاة.
الجواب: D
حل سؤال 11
بالنظر إلى المعادلة $ 2 - \dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{3}{x+1} $.
لا يمكن أن يكون أي من الحلول مساويًا لـ $ 0 $ أو $ -1 $ لأن هذه القيم تجعل المقامات تساوي الصفر وهو أمر غير مسموح به في الرياضيات.
اضرب كل شروط المعادلة في $ x(x+1) $
$ 2 \cdot \color{red} {x(x+1)} - \dfrac{1}{x(x+1) } \cdot \color{red} {x(x+1) } = \dfrac{3}{x+1} \cdot \color{red} {x(x+1)} $
بسّط العوامل المشتركة
$ 2 x(x+1) - 1 = 3 x $
قم بالتوسيع والمجموعة لإعادة كتابة المعادلات على شكل
$ 2x^2-x-1 = 0 $
قم بحل ما سبق بأي طريقة للحصول على حلين
$ x_1 = -1/2 $ and $ x_2 = 1 $
الجواب: C
حل سؤال 12
معطيات $ f(x) = \sqrt{x + 2} - 4 $.
دع $ a = f^{-1}(-2) $ وابحث عن $ a $.
من تعريف الدوال العكسية ، $ a = f^{-1}(-2) $ يكافئ $ f(a) = - 2 $
مما يعني أننا بحاجة إلى حل المعادلة $ \sqrt{a + 2} - 4 = - 2 $ من أجل العثور على $ a $
أعد كتابة المعادلة كـ
$ \sqrt{a + 2} = 2 $
مربّع كلا الجانبين
$ (\sqrt{a + 2})^2 = 2^2 $
تبسيط
$ a + 2 = 4 $
حل من أجل$ a $
$ a = 2 $
$ f^{-1}(-2) = 2 $
الجواب: A
حل سؤال 13
نظرا للتعبير $ \sin(4x) $.
استخدم المتطابقة المثلثية $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $ لإعادة كتابة التعبير المعطى كـ
\[ \sin(4x) = \sin( 2(2x)) \\\\ = 2 \sin(2x) \cos(2x) \]
استخدم متطابقة أعلاه مرة ثانية على المصطلح $ \sin(2x) $
\[ = 2 \cdot 2 \sin(x) \cos(x) \cos(2x) \\= 4 \sin(x) \cos(x) \cos(2x) \]
الجواب: B
حل سؤال 14
معطيات $ \overrightarrow{v_1} = <1,-2> $ و $ \overrightarrow{v_2} = <-2,4> $
$ \overrightarrow v = 2 \overrightarrow{v_1} - 3 \overrightarrow {v_2} $
عوّض $ \overrightarrow{v_1} $ و $ \overrightarrow{v_1} $ بمكوّناتهما ، وضربهما وابسّطهما
\[ \overrightarrow v = 2<1 , -2> - 3<-2 , 4> \\ = <2 , -4> + <6 , -12> \\ = <8 , -16> \]
الحجم $ \overrightarrow v $ يكون
$ | \overrightarrow v | = \sqrt{8^2+(-16)^2} = 8 \sqrt{5}$
الجواب: C
حل سؤال 15
دع $ P(t) $ هو الإنتاج كدالة للوقت$ t $ بالسنوات. نظرًا لأن الإنتاج يختلف خطيًا بمرور الوقت ، يمكن كتابته كـ
$ P(t) = m t + b $
مع $ t = 0 $ المقابلة قبل عامين عندما تم إنتاج 2000 لعبة أو$ P(0) = 2000 $
يتوافق هذا العام مع $ t = 2 $ والإنتاج هو 2400 أو$ P(2) = 2400$
يمكن حساب المنحدر $ m $ للدالة الخطية على النحو التالي
$ m = \dfrac{2400 - 2000} {2 - 0} = 200 $ لعبة في السنة
نجد المعلمة $ b $ باستخدام إما $ P(0) = 2000 $ و $ P(2) = 2400$.
$ P(0) = m(0) + b = b = 2000 $
$ P(t) = 200 t + 2000 $
في غضون أربع سنوات ، $ t = 6 $ ؛ لذلك
$ P(6) = 200(6) + 2000 = 3200 $ لعبة
الجواب: A
حل سؤال 16
نظرا المتباينات $ \quad x + 4 \le \dfrac{3}{x+2} $.
أعد كتابة المتباينة بحيث يكون الطرف الأيمن يساوي صفرًا.
$ \quad x + 4 - \dfrac{3}{x+2} \le 0 $
اضرب واقسم $ x + 4 $ على $ x + 2 $
$ \quad (x + 4) \cdot \color{red}{\dfrac{x + 2}{x + 2}} - \dfrac{3}{x+2} \le 0 $
التعبيران كسرية الموجودان على اليسار لهما قاسم مشترك ويمكن أن يتم تجميعهما على النحو التالي
$ \quad \dfrac{(x + 4)(x + 2)- 3 }{x + 2} \le 0 $
قم بتوسيع البسط وجمع المصطلحات المتشابهة
$ \quad \dfrac{x^2+6x+5}{x + 2} \le 0 $
أخرج العامل البسط
$ \quad \dfrac{(x+1)(x+5)}{x + 2} \le 0 $
يحتوي البسط على صفرين: $ x = - 1 $ و $ x = - 5 $ ويحتوي المقام على صفر $ x = - 2 $ وكلها مستخدمة في جدول العلامات أدناه.

$table of signs of inequality$
تُعطى مجموعة الحلول بالفواصل التي يكون فيها التعبير الموجود في الطرف الأيمن من المتباينة أقل من أو يساوي صفرًا.
مجموعة الحلول معطاة من: $ (-\infty ,-5] \cup (-2,-1] $
الجواب: C
حل سؤال 17
معطيات $ (-x+2)(x-1) - ( x^2 - 2x +1) $
ضرب
$ (-x+2)(x-1) - ( x^2 - 2x +1) = -x^2 + x + 2x - 2 - x^2 + 2x -1 $
جمع
$ = -2x^2 + 5x - 3 $
الجواب: D
حل سؤال 18
حلل $ 3x^2 + 4x - 4 $.
اكتب $4x$ كـ $6x - 2x$
$ 3x^2 + 4x - 4 = 3x^2 + 6x -2x - 4 $
أجمع
$ = (3x^2 + 6x) - (2x+4) $
حلل
$ = 3x(x + 2) - 2(x + 2) $
حلل $ x +2 $
$ = (x+2)(3x-2) $
حل سؤال 19
لنفترض أن $ x $ و $ y $ هما الرقمان بحيث يكون $ x \gt y $
لدينا فرق يساوي 2 ، ومن ثم
$ x - y = 2 $ (المعادلة 1)
لدينا حاصل الضرب يساوي 99 ، ومن ثم
$ x y = 99 $ (المعادلة 2)
المعادلة (1) تعطي
$ y = x - 2 $
استبدل $ y $ بـ $ x - 2 $ في المعادلة (2) للحصول عليها
$ x (x - 2) = 99 $
اضرب وأعد الكتابة بالطرف الأيمن يساوي صفرًا.
$ x^2 - 2 x - 99 = 0 $
حل للحصول على حلين
$ x = 11 $ و $ x = - 9 $
نحن نبحث عن أرقام موجبة. ومن ثم نختار$ x = 11 $
$ y = x - 2 = 11 - 2 = 9 $
الرقمان $ 9 $ و$ 11 $.
حل سؤال 20
معطيات $ \quad x y = \dfrac{y - 1}{x - 1} $.
اضرب الكل في $ x - 1 $
$ x y \cdot \color{red}{(x - 1 )} = \dfrac{y - 1}{x - 1} \cdot \color{red}{(x -1)}$.
بسط
$ x y (x - 1) = y - 1 $
اضرب
$ x^2 y - x y = y - 1 $
أعد الكتابة بكل الحدود مع $ y $ على اليسار
$ x^2 y - x y - y = - 1 $
أخرج العامل $ y $
$ y(x^2 - x - 1) = - 1 $
اقسم كلا الجانبين على $ x^2 - x - 1 $
$ \dfrac{y(x^2 - x - 1)}{x^2 - x - 1} = - \dfrac{1}{x^2 - x - 1} $
بسط
$ y = - \dfrac{1}{x^2 - x - 1} = \dfrac{1}{-x^2 + x + 1} $
حل سؤال 21
الطرح استخدم مجموع والطرح z و y لكتابة المعادلات
$ z + y = 74$
$ z - y = 12$
أجمع جوانب المعادلات أعلاه للتخلص من $ y $
$ 2z = 86 $
حل من أجل $ z $
$ z = 43 $
استبدل $ z $ بـ $ 43 $ في المعادلة $ z + y = 74$ للحصول على
$ 43 + y = 74$
حل من أجل $ y $
$ y = 31 $
يمكن كتابة مجموع $ x , y $ و $ z $ يساوي 96 كمعادلة
$ x + y + z = 96$
استبدل $ y $ و $ z $ بقيمهما للحصول على المعادلة
$ x + 31 + 43 = 96$
حل من أجل $ x $
$ x = 22 $
الأرقام الثلاثة
$ 22 , 31 , 43 $
حل سؤال 22
تقاطع x على الرسم البياني هو صفر من كثير الحدود ويعطي الأصفار العوامل. ومن ثم فإن تقاطعات x الثلاثة في الرسوم البيانية تعطي العوامل:

$graph of polynomial$
$ x + 2 $ , $ x - 1 $ و $ x - 3 $.
يمكن كتابة كثير الحدود $ P $ كـ
$ P(x) = a (x+2)(x-1)(x-3) $
نحتاج الآن إلى إيجاد المعامل الرئيسي $ a $ باستخدام تقاطع y المعطى $ P(0) = - 3 $
$ P(0) = a (0+2)(0-1)(0-3) = - 3 $
تبسيط
$ 6 a = - 3 $
$ a = -0.5 $
$ P(x) = -0.5 (x+2)(x-1)(x-3) $
الجواب: B
حل سؤال 23
حسب التعريف
$ (f_o g)(0) = f(g(0)) $
$ g(0) = \dfrac{1}{0-2} = - 1/2 $
لذلك
$ (f_o g)(0) = f(g(0)) = f(-1/2) = (-1/2) ^2 - 1 = -3/4 $
الجواب: A
حل سؤال 24
من الساعة 8:00 صباحًا ، تنخفض كمية الكافيين إلى النصف بعد 5 ساعات أي الساعة 1:00 ظهرًا. أصبحت كمية الكافيين
60 ملليغرام
من 1:00 مساءً إلى 6:00 مساءً هناك 5 ساعات تنخفض فيها كمية الكافيين إلى النصف مرة أخرى ، بسبب السلوك الأسي ، وتصبح
30 ملليغرام
الجواب: D
حل سؤال 25
شيئين يجب مراعاتهما بعناية: معامل $ z $ في المعادلة الثانية هو $ 0 $ ويجب تغيير ترتيب المتغيرات في المعادلة الثالثة وإعادة كتابة المعادلة كـ
$ -2x - 4 y + 2 z = 0 $
ووفقًا لضرب المصفوفات ، تكون الإجابة B.

أسئلة هندسية لممارسة اختبار EmSAT
حل سؤال 26
معطيات $ \quad 2(x - 2)^2 + 2(y + 2 )^2 = 32 $
نقسم أولاً جميع شروط المعادلة على $ 2 $ بحيث تتم كتابة المعادلة في الشكل القياسي
$ (x - 2)^2 + (y + 2 )^2 = 16$
أعد الكتابة بالشكل القياسي $ \quad (x - h)^2 + (y - k )^2 = r^2 $
$ (x - 2)^2 + (y - (-2) )^2 = 4^2 $
قارن بالشكل القياسي لتحديد المركز $ (h,k) = (2,-2) $ ونصف القطر $ r = 4 $
الجواب: C
حل سؤال 27

$right triangle$
استخدم نظرية فيثاغورس (Pythagorean theorem) للكتابة
$ x^2 + (2x)^2 = 125^2 $
التبسيط والتجميع
$ 5x^2 = 125^2 $
اقسم كلا الجانبين على $ 5 $
$ x^2 = 125^2 / 5 $
أخذ الجذر التربيعي لكلا الجانبين
$ x = 25\sqrt{5} $
الجواب: D
حل سؤال 28
نظرًا لأن AB موازي للقرص المضغوط ، فإن المثلثين OCD و OBA متشابهان ، وبالتالي تناسب الجانبين
$ \dfrac{ \overline{OC}}{\overline{OB}} = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AB}} $
استبدل
$ \dfrac{ 2.5}{y} = \dfrac{x}{5} = \dfrac{4}{6} $

$triangles with vertical angles$
استنتج معادلتين
$ \dfrac{x}{5} = \dfrac{4}{6} $

$ \dfrac{ 2.5}{y} = \dfrac{4}{6} $
حل كل معادلة لإيجاد
$ x = 10/3 $ and $ y = 15/4 $
الجواب: B
حل سؤال 29
دع $x $ يكون جانب المربع و $r $ يكون نصف قطر الدائرة. أي رأسين متقابلين للمربع مثل $A $ و $B $ الموضحين في الشكل أدناه بعيدان بقطر يساوي $2r $.
$square inscribed in circle$
مساحة المنطقة المظللة تساوي الفرق بين مساحة الدائرة $\ pi r ^ 2 $ ومساحة المربع $x ^ 2 $. لذلك
$ \pi r^2 - x^2 = 10$
كما أن استخدام نظرية فيثاغورس مع أحد المثلثين يعطي
$ x^2 + x^2 = (2r)^2 $
تعطي المعادلة أعلاه
$ x^2 = 2 r^2 $
استبدل $x ^ 2 $ بـ $2r ^ 2 $ في المعادلة $\ pi r ^ 2 - x ^ 2 = 10 $ للحصول على
$ \pi r^2 - 2r^2 = 10$
أخرج العامل $r ^ 2 $
$ r^2(\pi - 2) = 10$
حل من أجل $ r $
$ r = \sqrt{\dfrac{10}{\pi - 2}} \approx 3.0 $
الجواب: B
حل سؤال 30
يمكن حساب مساحة $A_r $ المثلث الأيمن ABC بطريقتين
$two right triangles$
$ A_r = 0.5 x y = 0.5 (48)(100) $
لذلك
$ x y = 4800 $ (المعادلة 1)
يعطي استخدام نظرية فيثاغورس
$ x^2 + y^2 = 100^2 $ (المعادلة 2)
المعادلة (1) تعطي
$ y = 4800 / x $
عوّض y بـ 4800 / x في المعادلة (2) لتحصل على
$ x^2 + (4800/x)^2 = 100^2 $
والتي يمكن كتابتها كـ
$ x^2 + 23040000 / x^2 = 100^2 $
اضرب كل عبارة جبرية في $x ^ 2 $ وبسّط للحصول على
$ x^4 + 23040000 = 10000 x^2 $
دع $u = x ^ 2 $ وأعد كتابة المعادلة أعلاه من حيث $u $
$ u^2 - 10000 u + 23040000 = 0$
حل بأي طريقة لإيجاد حلين
$u_1 = 6400 $ and $u_2 = 3600 $
أوجد $ x $ باستخدام
$ u = x^2 = 6400 $
الذي يعطي
$ x = 80 $ and $ y = 4800 / x = 4800 / 80 = 60 $
$ u = x^2 = 3600 $
الذي يعطي
$ x = 60 $ and $ y = 3600 / x = 4800 / 60 = 80 $
لدينا حلين ولكننا نحتاج إلى تحديد الحل حيث $x \gt y $ ؛ لذلك
$ x = 80 $ and $ y = 60 $
حل سؤال 31
إذا كانت مساحة متوازي الأضلاع 300 ، فإن مساحة المثلث DAB تساوي نصف إجمالي 300 أي 150.

$parallelogram$

لذلك
$ = 0.5 \sin (\angle A) \times \overline {AD} \times \overline {AB} = 0.5 \times \sin (\angle A) \times 30 \times 20 = 150 $ مساحة المثلث DAB
الذي يعطي
$ \sin(\angle A) = 0.5 $
$ \angle A =\arcsin(0.5) = 30^{\circ} $ or $ \angle A = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} $
نختار حجم $ \angle A $ ليكون منفرجة
$ \angle A = 150^{\circ} = \angle C $
$ \angle B = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} = \angle D $
الجواب: A
حل سؤال 32
$u shaped rectangular structure$
يمكن اعتبار الهيكل على شكل حرف U بمثابة كتلة مستطيلة كبيرة 10 في 3 في 8 والتي تم قطع كتلة مستطيلة أصغر × في × في 3 منها.
يمكن كتابة الحجم المعطى كـ
$ 165 = 10 \times 3 \times 8 - x \times x \times 3 $
$ 165 = 240 - 3x^2 $
والتي يمكن كتابتها كـ
$ 3x^2 = 75 $
حل من أجل $ x $
$ x = 5 $ سم
الجواب: C

أسئلة الإحصاء والاحتمالات التي يجب التدرب عليها لاختبار EmSAT
حل سؤال 33
احتمال أن يشاهد سيف المباراة على التلفاز هو 0.7 واحتمال فوز فريقه هو 0.5. ما احتمال عدم مشاهدة سيف المباراة وفوز فريقه بالمباراة؟
ليكن الحدث A: "سيف لن يشاهد المباراة"
فليكن الحدث B: "فريقه يفوز بالمباراة".
$P (A) = 1 - 0.7 = 0.3 $ قاعدة المكمل
$ P(B) = 0.5 $
الحدثان مستقلان ، وبالتالي
$ P(A \; and \; B) = P(A) \times P(B) = 0.3 \times 0.5 = 0.15 $
الجواب: D
حل سؤال 34
بالنظر إلى المجموعة: $\{-4، -1،0،2،5،6،7،10 \} $.
دع $S $ يكون مساحة العينة ، وبالتالي
$S = \{-4، -1،0،2،5،6،7،10 \} $
دع $ n (S) $ يكون عدد العناصر في $S $ ، وبالتالي
$n (S) = 8 $
لنفترض أن $E $ هو الحدث: "حدد رقمًا إما سالبًا أو أكبر من 6" ، ومن ثم
$E = \{-4، -1،7،10 \} $
دع $n (E) $ يكون عدد العناصر في $E $ ، وبالتالي
$ n(E) = 4 $
$ P (E) = n (E) / n (S) = 4/8 = 1/2 $
الجواب: C
حل سؤال 35
دع الحدث A: سلطان يسافر إلى إسبانيا
دع الحدث B | A: يسافر سلطان إلى إنجلترا وهو يعلم أنه سافر إلى إسبانيا (احتمالية مشروطة)
لذلك
$ P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B) }{P(A)} = \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6 $
الجواب: A
حل سؤال 36
لنفترض أن $ A $ مجموع الدرجات للأخوين
$ A = 2 \times 89 = 178 $.
دع B يكون مجموع الدرجات للأخوات الأربع ، وبالتالي
$ B = 4 \times 92 = 368 $
تم إعطاء متوسط جميع الإخوة والأخوات الستة بواسطة
$ \dfrac{\text{total grades}}{6} = \dfrac{178+368}{6} = 91 $
الجواب: B
حل سؤال 37
يتم إعطاء درجة Z- تطبيع لـ $ 590 $ بواسطة
$Z = \dfrac {590 - 500} {100} = 0.9 $
نستخدم الآن جدول قيم التوزيع الطبيعي لإيجاد النسبة المئوية $P $ كـ
$ P = 0.81594 = 81.594\% \approx 82\%$
الجواب: B
حل سؤال 38
الرسم البياني للشجرة الموضح أدناه يوضح جميع النتائج المحتملة للألعاب الثلاث التي سيلعبها ماجد.
$tree diagram of all possible outcomes$
جميع النتائج "الحمراء" لها انتصاران بالضبط.
$ P(\text{Majed wins exactly 2 out of the next three games}) = P \left( (WWL) or (WLW) or (LWW) \right) = P(WWL) + P(WLW) + P(LWW) $ (بالإضافة إلى قاعدة الاحتمالات)
$ P(\text{Majed wins}) = P(W) = 3/4 $
$ P(\text{Majed looses}) = 1 - P(W) = 1 - 3/4 = 1/4$ حكم المكمل
نتائج المباريات الثلاث مستقلة ؛ لذلك
$ P(WWL) = P(W) \times P(W) \times P(L) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4} = 9/64 $ (قاعدة الضرب للاحتمالات)

$ P(WLW) = P(W) \times P(L) \times P(W) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = 9/64 $

$ P(LWW) = P(L) \times P(W) \times P(W) = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4} = 9/64 $

$ P(\text{Majed wins exactly 2 out of the next three games}) = 9/64 + 9/64 + 9/64 = 27/64 $
الجواب: D

أسئلة التفاضل والتكامل التي يجب التدرب عليها لاختبار EmSAT
حل سؤال 39
$f (x) = - 4x ^ 3 + 3x ^ 2 - 2x - 2 $.
استخدم قاعدة الأس للمشتق $(x ^ n) '= n x ^ {n-1} $ وإضافة دوال القاعدة
$f '(x) = -12x ^ 2 + 6x-2 $
حل سؤال 40
بالنظر إلى الوظيفة $f (x) = (x ^ 3 - 2x ^ 2 + x) (2x - 7) $.
استخدم قاعدة حاصل الضرب في المشتق $(U V) '= U' V + U V '$
$f '(x) = (3x ^ 2 - 4x + 1) (2x - 7) + (x ^ 3 - 2x ^ 2 + x) (2) $
توسيع وتجميع المصطلحات المتشابهة
$f '(x) = 8x ^ 3-33x ^ 2 + 32x-7 $
حل سؤال 41
بالنظر إلى الدالة $f (x) = \sqrt {-3x + 3} $.
دع $u = -3x + 3 $ وأعد كتابة $f $ كـ
$f (x) = \sqrt {-3x + 3} = \sqrt {u (x)} = u (x) ^ {1/2} $
استخدم قاعدة السلسلة وقاعدة القوة
\[f '(x) = u' (x) (1/2) u ^ {1 / 2-1} \\\\ = -3 (1/2) u ^ {- 1/2} \\ = - \dfrac {3} {2 \sqrt {-3x + 3}} \].
حل سؤال 42
بالنظر إلى الوظيفة $f (x) = (x ^ 2 + 1) ^ 5 $.
دع $u = x ^ 2 + 1 $ وأعد كتابة $f $ على النحو التالي
$ f(x) = u^5 $
استخدم قاعدة السلسلة وقاعدة القوة
$f '(x) = u' (x) 5 u ^ {5-1} = 5 (2x) u ^ 4 = 10 x u ^ 4 $
استخدم قاعدة حاصل الضرب للمشتق $(U V) '= U' V + U V '$ لإيجاد المشتق الثاني
\[f ''(x) = 10 u ^ 4 + 10 x u' 4 u ^ 3 \\ = 10 (x ^ 2 + 1) ^ 4 + 10 x (2x) 4 (x ^ 2 + 1) ^ 3 \\ = 10 ((x ^ 2 + 1) ^ 4 + 8 x ^ 2 (x ^ 2 + 1) ^ 3) \]
حل سؤال 43
بالنظر إلى الوظيفة $f (x) = \dfrac {1} {x-1} $.
استخدم قاعدة خارج القسمة للمشتق $ (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 $
$f '(x) = \dfrac {(1)' (x-1) - (1) (1)} {(x-1) ^ 2} = \dfrac {-1} {(x-1) ^ 2} $
حل سؤال 44
معطيات $f (x) = \dfrac {x-1}{x + 3} $.
استخدم قاعدة خارج القسمة للمشتق
$(u / v) ' = (u'v - uv') / v ^ 2 $
$f '(x) = \dfrac {(1) (x + 3) - (x-1) (1)} {(x + 3) ^ 2} $

$f '(2) = \dfrac {(1) (2 + 3) - (2-1) (1)} {(2 + 3) ^ 2} = 4/25 $
الجواب: B
حل سؤال 45
معطيات $ f(x) = \cos(2x - 2) $.
Let $ u = 2x - 2 $ and write $ f $ as دع $u = 2x - 2 $ واكتب $f $ كـ
$ f(x) = \cos(u(x)) $
استخدم قاعدة السلسلة للعثور على $f'$
$ f'(x) = u'(x) (-\sin(u(x))) = - 2 \sin(2x-2) $
الجواب: D
حل سؤال 46
معطيات $ f(x) = k x^2 + 2x -1 $.
أوجد مشتق $ f $
$ f'(x) = 2 k x + 2 $
$ f'(1) = 2 k (1) + 2 = 2 k + 2 = 0 $
حل من أجل $ k $
$ 2 k + 2 = 0 $
$ k = - 1 $
الجواب: A
حل سؤال 47
Given $ f(x) = \dfrac{2x^2 + x}{x^2-1} $.
أوجد $ f' $
$ f'(x) = \dfrac{-x^2-4x-1}{\left(x^2-1\right)^2} $

$ \dfrac{-x^2-4x-1}{\left(x^2-1\right)^2} = 0 $

لكي يكون ما ورد أعلاه صفرًا ، يجب أن يكون البسط مساويًا للصفر. لذلك
$ -x^2-4x-1 = 0 $
حلين
$ x=-2-\sqrt{3} \; , \; x=-2+\sqrt{3} $
الجواب: C
حل سؤال 48
أوجد الحد $ \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^3-2x+4}{-2x^3+x^2-1} $.
قسّم كل عضو البسط وكل عضو المقام على عضو أعلى قوة وهي $x ^ 3 $
$ \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^3-2x+4}{-2x^3+x^2-1} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^3/x^3-2x/x^3+4/x^3}{-2x^3/x^3+x^2/x^3-1/x^3} $
تبسيط
$ = \lim_{x\to\infty} \dfrac{1-2/x^2+4/x^3}{-2 + 1/x-1/x^3} $
أي عضومن الشكل $k / x^n $ حيث $k $ هو ثابت و $n \ ge 1 $ سيكون له حد يساوي صفرًا مثل ${x \ to \ infty} \ ) ؛ لذلك
\( = \lim_{x\to\infty} \dfrac{1-0+0}{-2 + 0 - 0} = -1/2 $
الجواب: B
حل سؤال 49
$ \lim_{x\to + 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \dfrac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = 0 / 0 $

إنه شكل غير محدد ونحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى.
اضرب البسط والمقام في $(\sqrt {x} + 2) $
$ \lim_{x\to + 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x\to + 4} \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} $
بسّط البسط
$ = \lim_{x\to + 4} \dfrac{x-4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} $
بسّط العامل المشترك $ x-4 $
$ = \lim_{x\to + 4} \dfrac{1}{(\sqrt{x} + 2)} = \dfrac{1}{(\sqrt{4} + 2)} = 1/4$
الجواب: D
حل سؤال 50
$ \lim_{x\to - 3} \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 9} = \dfrac{(-3)^2 + 4\times(-3) + 3}{(-3)^2 - 9} = 0 / 0 $
إنه شكل غير محدد ونحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى.
حلل البسط والمقام إلى عوامل
$ \lim_{x\to - 3} \dfrac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 9} = \lim_{x\to - 3} \dfrac{(x+3)(x+1)}{(x-3)(x+3)} $
بسّط العامل المشترك $ x + 3 $
$ = \lim_{x\to - 3} \dfrac{(x+1)}{(x-3)} = \dfrac{-3+1}{-3-3} = 1/3$
الجواب: C