因式分解是将多项式表示为更简单多项式的乘积的过程。如何通过多项式的公因式进行因式分解？本文提供相关问题并附有详细解答和解释。
此方法基于分配律：
\[
\Large{\color{red} {a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c}}
\]
并将其逆向应用如下：
\[
\Large{\color{red} { a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) }}
\]
\( a \) 是 \( a \cdot b \) 和 \( a \cdot c \) 的公因式，因此被提取出来。
\( 3x^2 - x = 3x \cdot \textcolor{red}{x} - 1 \cdot \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{x}(3x - 1) \quad \) 公因式为 \(x\)。
注意： 通过展开因式分解后的形式来检验是否得到原多项式，可以非常容易地验证因式分解是否正确。
示例： 通过分配律展开 \( x(3x - 1) \quad \) 来检验 \( 3x^2 - x = x(3x - 1) \) ：
\( x(3x - 1) = x \cdot 3x + x \cdot (-1) = 3x^2 - x \quad \)，与原表达式一致。
a) \( 9x - 6 \)
b) \( x^2 - x \)
c) \( 3x + 12xy \)
d) \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
e) \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
a)
将二项式表达式 \( 9x - 6 \) 的两项 \( 9x \) 和 \( 6 \) 表示为质因数分解形式，以找出公因式。
使用质因数分解： \[ 9x - 6 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \]最大公因数为 \( \color{red}{3} \)。我们将其从表达式中提取出来。 \[ 9x - 6 = \color{red}{3}(3x - 2) \] 这是使用最大公因数得到的二项式简化因式形式。
b)
需要将 \( x^2 \) 和 \( x \) 进行质因数分解以找出 \( x^2 - x \) 的最大公因数。 \[ x^2 - x = \color{red}{x} \cdot x - \color{red}{x} = \color{red}{x} \cdot x - 1 \cdot \color{red}{x} \] 最大公因数为 \( x \)，因此将其提取出来。于是， \[ x^2 - x = \color{red}{x}(x - 1) \]c)
为了对表达式 \( 3x + 12xy \) 进行因式分解，我们首先找出各项的质因数分解。
项 \( 3x \) 分解为 \( 3 \cdot x \)，项 \( 12xy \) 分解为 \( 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \)。
因此我们可以将表达式重写为： \[ 3x + 12xy = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \] 我们观察到两项都有公因式 \( \color{red} {3x} \)。提取 \( 3x \) 后，得到： \[ 3x + 12xy = {\color{red}{3x}} (1 + 4y) \] 因此，最大公因数为 \( 3x \)，表达式的因式形式为 \( 3x(1 + 4y) \)。
d)
为了找出表达式 \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \) 的最大公因数，我们首先确定各项的质因数分解：
这些项的最大公因数为：\( 2 \cdot 2 \cdot x = 4x \)
现在从表达式中提取最大公因数： \[ 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 = \] \[ 4x \left( 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x + 2 \cdot x \cdot y + y \cdot y \right) \] \[ = 4x \left( 4x^2 + 2xy + y^2 \right) \]
e)
我们注意到 \(x + 5\) 是一个公因式，可以如下提取：
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = (x + 5)(2x^4 + x^2) \]现在我们找出项 \(2x^4\) 和 \(x^2\) 的最大公因数，并将其提取出来：
\[ 2x^4 + x^2 = 2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x + x \cdot x = x^2(2x^2 + 1) \]表达式 \(2x^4(x + 5) + x^2(x + 5)\) 的完全因式分解为：
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \]使用公因式对以下多项式进行完全因式分解：
a) \( -3x + 9 \)
b) \( 28x + 2x^2 \)
c) \( 11xy + 55x^2y \)
d) \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \)
e) \( 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \)
a)
将给定二项式 \( -3x + 9 \) 的两项 \( 3x \) 和 \( 9 \) 表示为质因数分解形式以找出公因式。
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \] 最大公因数为 \( \color{red}{3} \) 并被提取出来。因此 \[ -3x + 9 = \color{red}{3}(-x + 3) = -3(x - 3) \]
b)
将给定多项式 \( 28x + 2x^2 \) 的每一项表示为质因数分解形式。
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \] 最大公因数为 \( \color{red}{2x} \) 并被提取出来。因此 \[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2x}(14 + x) \]
c)
将给定多项式 \( 11xy + 55x^2y \) 的每一项表示为质因数分解形式。
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot x \cdot y + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y} \] 最大公因数为 \( \color{red}{11xy} \) 并被提取出来。因此， \[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]
d)
将给定多项式 \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \) 的每一项表示为质因数分解形式。
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = 2 \cdot 2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + \color{red}{5} \cdot 7 \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} - 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \] 最大公因数为 \( \color{red}{5xy} \) 并被提取出来。因此 \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]
e)
我们首先提取给定多项式中的公因式 \( (x + 1) \)。
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \] 现在我们使用三项的最大公因数对多项式 \( 5y + 10y^2 - 15xy \) 进行因式分解。 \[ 5y + 10y^2 - 15xy = {5 \cdot y} + 2 \cdot {5 \cdot y} \cdot y - 3 \cdot {5 \cdot y} \cdot x = \color{red}{5 \cdot y}(1 + 2y - 3xy) \] 给定多项式可以按如下方式因式分解。 \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = \color{red} {5y(x + 1)(1 + 2y - 3x)} \]