共点直线求解器与计算器

在线计算器，判断给定的三条直线 \( L_1 \)、\( L_2 \) 和 \( L_3 \) 是否共点，即它们是否都经过同一点。

共点直线问题的解析解法

设三条直线由以下方程给出：

\[ L_1: \quad a_1 x + b_1 y = c_1 \] \[ L_2: \quad a_2 x + b_2 y = c_2 \] \[ L_3: \quad a_3 x + b_3 y = c_3 \]

首先，通过求解方程组求出直线 \( L_1 \) 与 \( L_2 \) 的交点：

\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases} \]

使用克莱姆法则（行列式），交点的坐标为：

\[ x_0 = \frac{ \begin{vmatrix} c_1 & b_1\\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{c_1 b_2 - b_1 c_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \] \[ y_0 = \frac{ \begin{vmatrix} a_1 & c_1\\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}} = \frac{a_1 c_2 - c_1 a_2}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \]

然后，通过验证下式是否成立，检查点 \( P(x_0, y_0) \) 是否位于直线 \( L_3 \) 上：

\[ a_3 x_0 + b_3 y_0 = c_3 \]

📝 示例

考虑以下三条直线（计算器中的默认值）：

\[ L_1: 2x + y = -1 \] \[ L_2: 3x + 2y = -1 \] \[ L_3: -3x + 4y = 7 \]

使用克莱姆法则：

\[ x_0 = \frac{\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{(-1)(2) - (1)(-1)}{(2)(2) - (1)(3)} = \frac{-2 + 1}{4 - 3} = -1 \] \[ y_0 = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac{(2)(-1) - (-1)(3)}{4 - 3} = \frac{-2 + 3}{1} = 1 \]

验证 L₃：\( -3(-1) + 4(1) = 3 + 4 = 7 \) ✓

因此，三条直线共点于点 P(-1, 1)。

使用共点直线计算器

输入直线 L₁、L₂ 和 L₃ 的系数 a、b、c（如上所定义），然后点击“计算”。

三条直线共点性检查器

输入直线 ax + by = c 形式的系数

直线 L₁：a₁x + b₁y = c₁

a₁

b₁

c₁

直线 L₂：a₂x + b₂y = c₂

a₂

b₂

c₂

直线 L₃：a₃x + b₃y = c₃

a₃

b₃

c₃

小数位数

交点 X₀ --

交点 Y₀ --

状态 —

📚 练习题

通过解析方法并借助上方计算器，检查以下直线是否共点，并求出它们的交点：

a) L₁: \(-2x + 7y = 11\)
L₂: \(3x + 7y = 1\)
L₃: \(6x - y = -13\)

b) L₁: \(-7x + y = -32\)
L₂: \(-2x + y = -12\)
L₃: \(x - 7y = 32\)

c) L₁: \(-x - 2y = 3\)
L₂: \(y = -2\) （注意：即 0·x + 1·y = -2）
L₃: \(3x - 4y = 11\)

⚠️ 特殊情况

平行线：若 L₁ 与 L₂ 平行，则它们没有交点。
重合直线：若 L₁ 与 L₂ 是同一条直线，则它们有无穷多个交点。
竖直/水平直线：自动处理（例如当 a=0 或 b=0 时）。