三维直线与平面交点及夹角计算器

数学公式

三维直线（参数式）：

\[ \mathbf{r}(t) = \mathbf{P_0} + t\mathbf{v} = (x_0, y_0, z_0) + t(l, m, n) \]

其中 \((l, m, n)\) 为直线的方向数。

平面 \( P \) 方程：

\[ ax + by + cz = d \]

交点：将直线代入平面方程并求解 \(t\)：

\[ t = \frac{d - (ax_0 + by_0 + cz_0)}{a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n} \] \[ \text{交点：} (x_0 + t\cdot l,\; y_0 + t\cdot m,\; z_0 + t\cdot n) \]

直线与平面的夹角：

\[ \phi = \arcsin\left(\frac{|a\cdot l + b\cdot m + c\cdot n|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\right) \]

其中 \(\phi\) 是直线与其在平面上的投影之间的夹角。

直线与平面 P 法线的夹角： \(\theta = 90° - \phi\)

plane-line-intersection-angle.gif

直线与平面交点

求三维空间中直线与平面的交点及夹角

直线输入格式：

点 A (x₁, y₁, z₁)

x₁

y₁

z₁

点 B (x₂, y₂, z₂)

x₂

y₂

z₂

点 P₀ (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

方向向量 v = (l, m, n)

点 (x₀, y₀, z₀)

x₀

y₀

z₀

方向数 (l, m, n)，来自 (x-x₀)/l = (y-y₀)/m = (z-z₀)/n

注意：l、m、n 为对称式中的方向数（分母）

平面：a·x + b·y + c·z = d

小数位数

交点 --

夹角（直线与平面）φ -- °

夹角（直线与法线）θ -- °

关于计算

直线形式

两点式：过点 A 和 B 的直线：\( \vec{v} = B - A \)
参数式：\(P_0 + t\cdot\vec{v}\)，其中 \(\vec{v} = (l, m, n)\) 为方向向量
对称式：\(\dfrac{x - x_0}{l} = \dfrac{y - y_0}{m} = \dfrac{z - z_0}{n}\)，其中 \((l, m, n)\) 为方向数

交点情况

直线与平面相交：当 \( \vec{n} \cdot \vec{v} \neq 0 \) 时有唯一交点
直线平行于平面：当 \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) 且点不在平面内时无交点
直线位于平面内：当 \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) 且点满足平面方程时有无穷多个交点

夹角

φ（phi）：直线与其在平面上投影之间的夹角（\(0° \leq \phi \leq 90°\)）
θ（theta）：直线与平面法向量之间的夹角（与 φ 互余）

注意：\(\phi + \theta = 90°\)