直线的斜率
斜率的定义
直线的斜率衡量其陡峭程度和变化率。在实际情境中，它是 \(x\) 每变化 1 个单位时 \(y\) 的变化量——例如，坡度为 10% 的道路其斜率为 \(0.10\)。
给定两个不同的点 \(A(x_A, y_A)\) 和 \(B(x_B, y_B)\)，斜率 \(m\) 是纵向变化与横向变化之比：
\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]
其中 \( \Delta y \) 是纵向变化，\( \Delta x \) 是横向变化。
特殊情况：水平线与垂直线
水平线
对于水平线，所有 y 坐标相等（\(y_A = y_B\)），所以分子为零：
\[ m = \frac{0}{x_B - x_A} = 0 \]
水平线的斜率为 0，方程为 \(y = c\)。
垂直线
对于垂直线，所有 x 坐标相等（\(x_A = x_B\)），所以分母为零：
\[ m = \frac{y_B - y_A}{0} \quad \text{（未定义）} \]
垂直线的斜率未定义，方程为 \(x = c\)。
例题
例 1：由点求斜率
问题： 求每条直线的斜率，并说明它是上升、下降、水平还是垂直。
- \(L_1\) 经过 \((2, 3)\) 和 \((4, 9)\)
- \(L_2\) 经过 \((-1, 0)\) 和 \((6, -8)\)
- \(L_3\) 经过 \((-5, 1)\) 和 \((-5, 3)\)
- \(L_4\) 经过 \((7, -3)\) 和 \((-5, -3)\)
查看解答
- \( m_1 = \dfrac{9 - 3}{4 - 2} = \dfrac{6}{2} = 3 \)。由于 \(m_1 > 0\)，直线上升。
- \( m_2 = \dfrac{-8 - 0}{6 - (-1)} = -\dfrac{8}{7} \)。由于 \(m_2 < 0\)，直线下降。
- \( m_3 = \dfrac{3 - 1}{-5 - (-5)} = \dfrac{2}{0} \)。斜率未定义，直线是垂直线。
- \( m_4 = \dfrac{-3 - (-3)}{-5 - 7} = \dfrac{0}{-12} = 0 \)。斜率为 0，直线是水平线。
例 2：平行线与垂直线
问题： 判断下列直线中是否有平行或垂直的直线。
- \(L_1\)：经过 \((0,0)\) 和 \((2,4)\)
- \(L_2\)：经过 \((0,0)\) 和 \((-2,1)\)
- \(L_3\)：经过 \((1,1)\) 和 \((3,5)\)
查看解答
先计算每条直线的斜率：
- \( m_1 = \dfrac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \)
- \( m_2 = \dfrac{1 - 0}{-2 - 0} = -\dfrac{1}{2} \)
- \( m_3 = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2 \)
平行： \(L_1\) 和 \(L_3\) 的斜率都为 2，所以 \(L_1 \parallel L_3\)。
垂直： \( m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-\tfrac12) = -1 \)，所以 \(L_1 \perp L_2\)。
想要更多练习？请参阅带解答的斜率练习题。
交互式斜率探索器
如何使用交互式图像
- 拖动图像上的点 A 和 B以改变直线的斜率。
- 数学斜率和直线方程会实时更新。
- 查看纵向变化/横向变化三角形以及经过两点绘制的直线。
- 或者，在输入框中输入坐标，然后点击根据坐标更新。
正在加载交互式图像…
探索活动
- 拖动点 A 或 B 以产生不同的斜率。
- 令 \(y_A = y_B\) 以形成水平线。注意其斜率。
- 令 \(x_A = x_B\) 以形成垂直线。观察其未定义的斜率。
- 创建正斜率——直线从左到右上升。
- 创建负斜率——直线从左到右下降。
- 观察纵向变化/横向变化三角形的大小和方向变化。