本页给出清晰的几何证明，说明两条平行线的斜率相等。同时包含若干详解示例和配有详细解答的练习题。
下图展示了两条平行线 \(L_1\) 和 \(L_2\)。 点 \(A\) 和 \(B\) 位于 \(L_1\) 上，点 \(C\) 和 \(D\) 位于 \(L_2\) 上。
令 \(BM\) 与 \(DN\) 平行于 \(y\) 轴，令 \(AM\) 与 \(CN\) 平行于 \(x\) 轴。 三角形 \(ABM\) 与 \(CDN\) 的对应边互相平行，因此它们 相似。
因此， \[ \frac{BM}{DN} = \frac{MA}{NC} \]
可改写为： \[ \frac{BM}{MA} = \frac{DN}{NC} \]
根据定义，\(\frac{BM}{MA}\) 是直线 \(L_1\) 的斜率， \(\frac{DN}{NC}\) 是直线 \(L_2\) 的斜率。因此， 两条平行线的斜率相等。
判断下列哪些直线互相平行：
\[ \begin{aligned} \text{a)}\ & y = 2x - 3 \\ \text{b)}\ & 2x - y = 2 \\ \text{c)}\ & -4y + 2x = 0 \\ \text{d)}\ & -4y + 8x = 9 \end{aligned} \]
解答
将每个方程写成斜截式 \(y = mx + b\)：
\[ \begin{aligned} \text{a)}\ & y = 2x - 3 \implies m = 2 \\ \text{b)}\ & 2x - y = 2 \implies y = 2x - 2 \implies m = 2 \\ \text{c)}\ & -4y + 2x = 0 \implies 4y = 2x \implies y = \tfrac{1}{2}x \implies m = \tfrac{1}{2} \\ \text{d)}\ & -4y + 8x = 9 \implies 4y = 8x - 9 \implies y = 2x - \tfrac{9}{4} \implies m = 2 \end{aligned} \]
(a)、(b) 和 (d) 中的直线斜率相等（\(m = 2\)），因此互相平行。
求 \(k\)，使得直线 \[ 6kx - 3y = 9 \quad \text{与} \quad -4x + 5y = 7 \] 互相平行。
解答
\[ \begin{aligned} 6kx - 3y &= 9 \implies 3y = 6kx - 9 \implies y = 2kx - 3 \implies m_1 = 2k \\ -4x + 5y &= 7 \implies 5y = 4x + 7 \implies y = \tfrac{4}{5}x + \tfrac{7}{5} \implies m_2 = \tfrac{4}{5} \end{aligned} \]
平行线的斜率相等： \[ 2k = \tfrac{4}{5} \] \[ k = \tfrac{2}{5} \]
求 \(a\)，使得经过 \((1,2)\) 和 \((0,3)\) 的直线与经过 \((a,2)\) 和 \((-2,7)\) 的直线平行。
解答
\[ m_1 = \frac{3 - 2}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \] \[ m_2 = \frac{7 - 2}{-2 - a} = \frac{5}{-2 - a} \]
令两斜率相等： \[ \frac{5}{-2 - a} = -1 \] \[ 5 = -1(-2 - a) \implies 5 = 2 + a \implies a = 3 \]
求点 \(D (a,b)\) 的坐标，使得 \(A(0,2)\)、\(B(2,6)\)、\(C(8,8)\) 和 \(D\) 构成一个平行四边形。
解答
平行四边形的对边互相平行，即斜率相等（\(m_{AB} = m_{DC}\) 且 \(m_{BC} = m_{AD}\)）：
\[ m_{AB} = \frac{6 - 2}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ m_{DC} = \frac{8 - b}{8 - a} \implies 2 = \frac{8 - b}{8 - a} \implies 8 - b = 16 - 2a \implies 2a - b = 8 \]
\[ m_{BC} = \frac{8 - 6}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \tfrac{1}{3} \] \[ m_{AD} = \frac{b - 2}{a - 0} \implies \tfrac{1}{3} = \frac{b - 2}{a} \implies a = 3b - 6 \]
将 \(a = 3b - 6\) 代入 \(2a - b = 8\)： \[ 2(3b - 6) - b = 8 \implies 6b - 12 - b = 8 \implies 5b = 20 \implies b = 4 \] \[ a = 3(4) - 6 = 12 - 6 = 6 \]
因此，坐标为 \(D(6,4)\)。
求经过 \((2,1)\) 且平行于经过 \((-1,2)\) 和 \((3,4)\) 的直线的方程。
解答
\[ m = \frac{4 - 2}{3 - (-1)} = \frac{2}{4} = \tfrac{1}{2} \]
使用点斜式，取点 \((2,1)\) 和斜率 \(m = \tfrac{1}{2}\)： \[ y - 1 = \tfrac{1}{2}(x - 2) \implies y - 1 = \tfrac{1}{2}x - 1 \implies y = \tfrac{1}{2}x \]
求经过 \((-1,1)\) 且平行于 \(2y + 4x = 2\) 的直线方程。
解答
将给定方程改写为斜截式： \[ 2y + 4x = 2 \implies 2y = -4x + 2 \implies y = -2x + 1 \implies m = -2 \]
使用点斜式，取点 \((-1,1)\) 和斜率 \(m = -2\)： \[ y - 1 = -2(x - (-1)) \implies y - 1 = -2(x + 1) \implies y - 1 = -2x - 2 \implies y = -2x - 1 \]