微分方程是包含未知函数及其一个或多个导数的方程。如果 \( y = f(x) \)，则方程中可能会出现诸如 \( y' \)、\( y'' \) 或更高阶导数的表达式。
微分方程的阶数
微分方程的阶数定义为方程中出现的最高阶导数的阶数。
例题：确定阶数
-
\( y' = 3x \)
最高阶导数为 \( y' \)。因此，这是一个一阶微分方程。 -
\( y'' + y' + y = 3x \)
最高阶导数为 \( y'' \)。因此，这是一个二阶微分方程。 -
\( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
最高阶导数为 \( y''' \)。因此，这是一个三阶微分方程。
验证解
如果将函数 \( y = f(x) \) 及其导数代入微分方程后能使方程两边相等，则称该函数为微分方程的一个解。
例题：验证解
验证 \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) 是下列微分方程的解：
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]首先计算导数：
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]将 \( y \) 和 \( y' \) 代入左边：
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]这与微分方程的右边相匹配。因此，\( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) 确实是一个解。
求解简单的微分方程
微分方程的大多数应用都涉及求出未知函数。
例题：求通解
求解：
\[ y' = 2x \]两边积分：
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]这给出：
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]合并常数：
\[ y = x^2 + C \]其中 \( C = C_2 - C_1 \) 是任意常数。