免费微积分问题和问题及其解决方案

提供免费的微积分教程，包括问题和问题及其解决方案。

微积分问题和问题

• 微积分 1 练习题以及详细的解决方案。
• 微积分 1 的优化问题以及详细的解决方案。
• 线性最小二乘拟合。 使用偏导数找到给定实验数据的线性拟合。
• 最小距离问题。 一阶导数用于最小化行驶距离。
• 矩形的最大面积 - 问题及解决方案。 使用一阶导数最大化三角形内切矩形的面积。 提出了问题及其解决方案。
• 圆的最大半径 - 问题及解决方案。 求直角三角形内切圆半径最大的角的大小； 为常数斜边。
• 使用微积分中的积分求圆的面积。
• 使用微积分计算椭圆的面积。
• 使用积分计算球冠的体积。
• 使用微积分计算球体的体积。
• 使用微积分计算平截头体的体积。
• 使用积分求方锥的体积。
• 三角形的最大面积 - 问题及解决方案。 一阶导数用于最大化圆内切三角形的面积。
• 直角三角形中的矩形的最大面积 - 问题及解决方案。 使用一阶导数最大化直角三角形内切矩形的面积
• 最大化盒子的体积。 如何使用体积的一阶导数最大化盒子的体积。
• 最大限度地提高电路传输功率。 一阶导数用于最大化传送到电子电路中负载的功率。
• 使用导数求二次函数。 给定二次函数图像的切线，使用一阶导数求该二次函数的方程。
• 中值定理问题。 提出了使用中值定理的问题以及详细的解决方案。
• 罗尔定理问题和示例
• 使用一阶导数最小化金字塔面积。 一阶导数用于最小化方形底座金字塔的表面积。 提出了该问题的详细解决方案。
• 解决微积分中的切线问题。 给出了切线问题及其解决方案。
• 解决微积分中的变化率问题。 提出了微积分变化率问题及其解决方案。
• 使用导数解决问题：距离-时间优化。 提出了最小化（优化）从一点步行到另一点所需时间的问题。
• 使用导数解决问题：面积优化。 提出了最大化（优化）周长恒定的矩形面积的问题。
• 最小、最大、一阶和二阶导数。 有关如何使用微积分定理（使用一阶导数和二阶导数）来确定函数在给定点是否具有相对最大值或最小值或两者都没有的教程。
• 函数的一阶、二阶导数和图形。 有关如何在微积分中使用一阶和二阶导数来绘制函数图形的教程。

限制和连续性

• 微积分极限简介。 数字和图形示例用于解释极限的概念。
• 绝对值函数的极限问题。
• 当 x 接近无穷大时 Arctan(x) 的极限 .
• 求微积分中函数的极限。 使用不同的方法找出各种函数的极限。 给出了几个带有详细解决方案的示例。 更多练习及答案位于本页末尾。
• 常量函数和线性函数的极限。
• 微积分中极限的性质。 极限中的主要定理及其在计算函数极限中的用途。
• 微积分中的连续函数。 举例介绍微积分中连续函数概念的定义。
• 连续性定理及其在微积分中的应用。 与函数连续性及其在微积分中的应用相关的定理将通过示例进行介绍和讨论。
• 不可微函数。 图形和分析解释。
• 有关解决方案连续性的问题。
• 使用挤压定理求极限。 挤压定理用于查找函数的极限，例如当 x 接近 0 时 sin x/x。
• 计算三角函数的极限。 许多示例提供了详细的解决方案和练习，以及有关计算三角函数或涉及三角函数的函数的极限的答案。
• L'hopital 规则和不定式形成 0 / 0。 几个例子及其详细的解决方案和练习，以及如何使用 l'Hopital 定理计算不定形式 0/0 的极限的答案。
• 极限的不确定形式。 几个例子及其详细的解决方案和答案练习，关于如何计算不定形式的极限，例如
  ∞ /∞ 0 ⁰、∞ ⁰、1 ^∞、∞ ^o 和 & #8734; - ∞。
• 收敛级数和发散级数。

微分和导数

• 微分乘积规则与示例。
• 微分的商规则与示例。
• 泰勒和麦克劳林级数及示例。
• 在微积分中求函数的导数。 使用不同的方法和规则求各种函数的导数。 给出了几个带有详细解决方案的示例。 页末还包含带有答案的练习。
• 差商。 我们从差商的定义开始，然后用几个例子来计算它。 提出了问题的详细解答。
• 使用定义求导数。 使用其定义可以找到导数。 首先计算差商，然后将其极限计算为 h ---> 0。
• a^x 的导数证明。
• 对数函数对任意底数的导数：Log_a (x ）。
• e^x 的导数证明。 导数的定义用于计算 e^x 的导数。
• ln(x) 的导数证明。 ln(x) 的导数是使用定义计算的。
• sin x 的导数证明。 sin (x) 的导数是使用导数的定义作为极限来计算的。
• cos x 的导数证明。 cos (x) 的导数是使用导数的定义作为极限来计算的。
• tan(x) 的导数。 tan (x) 的导数是使用商规则以及 sin(x) 和 cos(x) 的导数计算的。
• cot(x) 的导数证明。 利用商法则以及sin(x)和cos(x)的导数给出了cot(x)导数的证明。
• sec(x) 的导数证明。 给出了sec(x)导数的证明。
• csc(x) 的导数证明。 给出了csc(x)导数的证明。
• 对数微分。 求复杂函数导数的强大方法。 该方法使用链式法则和对数的性质。
• 导数表。 指数函数和对数函数、三角函数及其反函数、双曲函数及其反函数的导数表。
• 微积分中函数的微分规则。 微积分中函数微分的基本规则与几个例子一起给出。
• 在微积分中使用微分链式法则。 微积分中函数微分的链式法则与几个例子一起被提出。
• 涉及绝对值的衍生品。 有关如何求涉及绝对值的函数的导数的示例。 还包括带有答案的练习。
• 隐式微分。 给出了隐式微分示例以及详细的解决方案。
• 反函数的导数。 提供了有关如何求反函数导数的详细解决方案的示例。
• 反三角函数的导数。 给出了反三角函数导数的公式以及涉及函数的和、乘积和商的其他几个示例。
• 求 f(x) = arccos(cos(x)) 的导数并绘制图表。
• 求 f(x) = arcsin(sin(x)) 的导数并绘制图表。
• 求 f(x) = arctan(tan(x)) 的导数并绘制图表。
• 三角函数的微分。 给出了微积分中三角函数导数的公式以及涉及三角函数的乘积、和和商的几个示例。
• 求 y = x^x 的导数。 有关如何求 y = x^x 对于 x > 0 的一阶导数的教程。
• 引发函数的导数 另一个函数的幂。
• 指数函数的微分。 给出了微积分中指数函数导数的公式和例子。 研究了几个带有详细解决方案的示例，涉及指数函数的乘积、和和商。
• 对数函数的微分。 给出了微积分中对数函数导数的例子。 研究了几个带有详细解决方案的示例，涉及指数函数的乘积、和和商。
• 双曲函数的微分。 给出了双曲函数的导数表。 检查了带有详细解决方案的示例，涉及双曲函数的乘积、总和、幂和商。

微分法的应用

• 函数的绝对最小值和最大值，示例 具有详细的解决方案和图形解释。 ------------------------------
• 查找函数零点的牛顿法。 牛顿法是如何使用微分来查找函数零点和数值求解方程的示例。 提供了有关如何使用牛顿法的详细解决方案的示例。
• 函数的线性逼近。 线性逼近是如何使用微分通过接近给定点的线性函数来逼近函数的另一个示例。 提供了有关线性近似的详细解决方案的示例。
• 查找函数的关键数量。 有关如何查找函数的临界数的教程。 几个带有详细解决方案的示例和带有答案的练习。
• 二次函数的导数、最大值、最小值。 微分用于分析二次函数的增、减区间、局部极大值、局部极小值等性质。 带有解决方案的示例和带有答案的练习。
• 确定二次函数的凹性。 带有解决方案的示例和带有答案的练习。
• 使用导数来显示 arcsin(x) + arccos(x) = pi/2。

积分

• 计算函数的积分。 带有详细解决方案的示例。
• 分部积分。 包含示例和详细解决方案的教程以及包含如何使用分部积分技术求积分的答案的练习。
• 替换积分。 包含示例和详细解决方案的教程以及包含如何使用强大的代换积分技术来求积分的答案的练习。
• ln x 的积分。
• 对数函数对任意底数的积分：Log_a (x ）。
• 无限区间的不当积分。 带有详细解决方案的示例。
• 积分中的三角替换。 带有详细解决方案的示例。
• x 的绝对值的积分。
• a^x 的积分。
• 使用求平方函数计算涉及二次方程的积分。 包含示例和详细解决方案的教程以及包含如何使用完成平方和替换技术来评估积分的答案的练习。 。
• 涉及 sin(x) 或 cos(x) 和指数的积分。 求涉及 sin(x) 或 cos(x) 与指数函数乘积的积分的教程。 带有答案的练习位于页面底部。
• 涉及 sin(x) 和 cos(x) 奇次幂的积分。 求涉及 sin(x) 和 cos(x) 幂乘积且两者之一具有奇数次幂的积分的教程。
• 涉及 sin(x) 奇次幂的积分。
• 涉及 sin(x) 偶次幂的积分。
• 查找曲线下面积。 如何使用定积分求曲线下（和曲线间）的面积； 提供了带有示例和详细解决方案的教程。
• 查找曲线之间的面积。 如何使用定积分求曲线之间的面积。
• 曲线长度。 带有详细解决方案的示例。
• 计算极坐标曲线中的面积。 带有详细解决方案的示例。
• 极坐标中椭圆的面积。
• 求旋转实体的体积。 如何使用定积分求通过将函数图形围绕其中一个轴旋转一个区域而生成的旋转实体的体积？
• 采用圆柱壳法计算体积。 使用圆柱壳绕其中一个轴旋转函数图所界定的区域，求所生成的旋转实体的体积。
• 部分分数分解。 如何将复杂的代数分数分解为更简单的代数分数进行积分？
• 使用分数分解的有理函数积分。
• 在线部分分数分解计算器。
• 积分表。 下面列出了函数不定积分表。
• 评估涉及对数的积分 - 教程。 包含对数函数的被积函数的积分。
• 积分规则与示例，包括解决方案 以及详细的解释和练习。
• 评估涉及对数的积分 - 教程。 有关积分（包括对数函数）的教程，包含示例和详细解决方案、带有答案的练习。
• 拉普拉斯变换表。 拉普拉斯变换综合表。
• 傅里叶变换表。 傅里叶变换表。
• 多重积分计算和应用。

三角函数幂的积分

详细的解决方案和解释
• sec(x) 的积分
• csc(x) 的积分
• sin^2(x) 的积分
• cos^2(x) 的积分
• sec^3(x) 的积分
• cos^3(x) 的积分
• sin^3(x) 的积分
• sec^4(x) 的积分
• tan^3(x) 的积分
• csc^3(x) 的积分
• sin^2(x) 的积分 cos^2(x)
• sin^2(x) 的积分 cos^3(x)
• sin^3(x) 的积分 cos^2(x)
• sin^4(x) 的积分

微分方程

• 微分方程简介。 什么是微分方程？
• 微分方程的应用。 应用微分方程对现实生活情况进行建模的几种应用。
• 微分方程的阶次和线性。 关于微分方程的阶次和线性的教程，包含示例和练习。
• 简单微分方程。 这是求解 dy / dx = f(x) 形式的简单一阶微分方程的教程。
• 可分离微分方程。 什么是可分离微分方程以及如何求解它们？
• 求解一阶微分方程。 如何求解一阶微分方程。 讨论了一般解决方案并提供了详细解决方案的示例。
• 二阶微分方程 - 概述。 回顾求解二阶微分方程的主要定义和基本思想。
• 求解二阶微分方程 - 第 1 部分。 有关如何求解辅助方程有两个不同实数解的二阶微分方程的教程。
• 求解二阶微分方程 - 第 2 部分。 有关如何求解辅助方程具有两个相等实数解的二阶微分方程的教程。 包含答案的详细示例和练习。
• 求解二阶微分方程 - 第 3 部分。 有关如何求解辅助方程有两个复共轭解的二阶微分方程的教程。 包含答案的详细示例和练习。

参数方程及其应用

• 参数方程。 示例和问题及解决方案。
• 参数方程的导数和应用。 示例和问题及解决方案。

多变量函数（具有多个变量的函数）

• 线性最小二乘拟合。 使用偏导数找到给定实验数据的线性拟合。
• 多变量函数简介。 具有多个变量的函数示例。
• 偏导数。 包含详细解决方案的示例和包含如何计算函数偏导数答案的练习。
• 双变量函数的临界点。 给出了许多确定两个变量函数临界点的示例及其详细解决方案。
• 多变量链式法则。
• 两个变量函数的最大值和最小值。 找到两个变量函数的相对最大值、最小值和鞍点。 给出了几个具有详细解决方案的示例。 显示函数的三维图以确认这些点的存在。
• 双变量函数的优化问题。 解决了几个优化问题并提出了详细的解决方案。 这些问题涉及使用一阶和二阶偏导数优化两个变量中的函数。
• 微积分中的二阶偏导数。 有关如何计算函数二阶偏导数的教程，包含示例和详细解决方案。

数学公式表

• 数学公式表。 几个数学公式表，包括十进制乘数、级数、阶乘、排列、组合、二项式展开、三角公式以及导数、积分、拉普拉斯和傅立叶变换表。

交互式教程

• 在线分步微积分计算器和求解器
• 函数的一阶导数。 使用小程序以交互方式探索函数导数的图形解释。
• 二次函数导数的证明。 给出了使用极限的二次函数导数的证明和解释。
• 多项式函数的导数。 以交互方式和图形方式探索三阶多项式函数的导数。
• 正弦 (sin x) 函数的导数。 以交互方式探索正弦函数的导数。
• 图的凹性。 介绍了图的定义以及拐点。
• 二次函数图的凹性。 以交互方式探索 f(x) = a x ² + bx + c 形式的二次函数图的凹性。
• 多项式函数的凹性。 使用 f(x) = x ³ + a x ² + bx + c 形式探索多项式函数图的凹性 一个小程序。
• 垂直切线。 通过交互式探索 f(x) = x ^{1 / 3} 的导数来理解垂直切线的概念。
• 均值定理。 使用小程序探索中值定理。
• 微分方程 - 龙格库塔方法。 探索龙格库塔方法，这是一种用于近似微分方程解的强大数值方法。
• 函数导数的定义。 使用小程序以交互方式探索微积分中函数导数的定义。
• 定积分的定义 - 黎曼和。 探索定积分定义的小程序。
• 自然对数 ln(x) 定义的积分形式。 探索自然对数 ln(x) 定义的小程序。
• 周期函数的傅里叶级数。 有关如何查找函数的傅里叶系数的教程以及使用小程序以图形方式探索相同函数及其傅里叶级数的交互式教程。

更多链接和参考

• 基本统计和概率教程和问题
• 工程数学
• 主页