在微积分中，可分离变量的微分方程是指可以写成以下形式的一阶微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{f(x)}{g(y)} \]它也可以重写为：
\[ g(y) \, dy = f(x) \, dx \]变量可以被分离，使得所有包含 \( y \) 的项出现在一侧，所有包含 \( x \) 的项出现在另一侧。这些方程通常可以通过直接积分来求解。本教程解释了该方法，并提供了经典例题以及随后的练习题。
如何求解可分离变量的微分方程
- 重写方程，使得所有 \( y \) 项在同一侧，所有 \( x \) 项在另一侧。
- 对两边分别关于其各自的变量进行积分。
- 如果可能的话，求解出 \( y \) 以得到通解。
附详细解答的例题
经典例题
例题 1
求解微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{y} \]解答：
分离变量：
\[ e^{-y} \, dy = 3x^2 \, dx \]两边积分：
\[ \int e^{-y} \, dy = \int 3x^2 \, dx \] \[ -e^{-y} = x^3 + C \]求解 \( y \)：
\[ e^{-y} = -x^3 - C \] \[ -y = \ln(-x^3 - C) \] \[ y = -\ln(-x^3 - C) \]这是通解。您可以通过求导来验证它。
例题 2
求解微分方程：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{y \cos y} \]解答：
分离变量：
\[ y \cos y \, dy = \sin x \, dx \]积分：
\[ \int y \cos y \, dy = \int \sin x \, dx \]在左侧使用分部积分法（\( u = y, dv = \cos y \, dy \)）：
\[ y \sin y + \cos y = -\cos x + C \]该解是隐式的；没有关于 \( y(x) \) 的简单显式公式。
练习题
练习题与答案
求解以下可分离变量的微分方程：
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -9x^2y^2\)
- \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = -2xe^{y}\)
答案：
- \(\displaystyle y = \frac{1}{3x^3 + C}\)
- \(\displaystyle y = -\ln(x^2 + C)\)