求微积分中函数的导数

全面的微分例题：幂法则、乘积法则、商法则与链式法则

掌握微分需要根据函数的结构应用特定的规则。以下是涵盖幂法则、乘积法则、商法则和链式法则的详细解答例题。

幂法则例题

幂法则指出，对于 \( f(x) = x^n \)，其导数为 \( f'(x) = nx^{n-1} \)。

例题 7：求 \( f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 10 \) 的导数

分别对每一项应用幂法则：

  • \( 4x^5 \) 的导数是 \( 4(5x^4) = 20x^4 \)
  • \( -3x^2 \) 的导数是 \( -3(2x) = -6x \)
  • \( 7x \) 的导数是 \( 7(1) = 7 \)
  • 常数 \( -10 \) 的导数是 \( 0 \)

最终解答： \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)

例题 8：求 \( f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt[3]{x} \) 的导数

使用指数重写函数：\( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)

应用幂法则：

\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

乘积与商法则例题

例题 1： \( f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \)（乘积法则）

使用 \( f'(x) = U'V + UV' \)：

\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]

结果： \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)

例题 3： \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \)（商法则）

使用 \( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \)：

\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]

结果： \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)

链式法则例题

链式法则用于复合函数：\( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。

例题 9：求 \( f(x) = (4x^3 - 2x)^6 \) 的导数

设“内层”函数为 \( u = 4x^3 - 2x \)。则 \( f(x) = u^6 \)。

1. 对外层函数求导：\( 6u^5 \)

2. 对内层函数求导：\( u' = 12x^2 - 2 \)

3. 将它们相乘：\( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)

结果： \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)

例题 10：求 \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) 的导数

重写为 \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \)。

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]

2 约分后得到：

\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

练习题

练习题 7： \( f(x) = 10x^4 - \pi x + e \)（幂法则）

答案： \( f'(x) = 40x^3 - \pi \)（注：\( e \) 是常数，其导数为 0）。

练习题 8： \( g(x) = (2x+1)^3(x-5)^2 \)（乘积 + 链式法则）

答案： \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)

化简后：\( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)

练习题 9： \( h(x) = \sin(x^2) \)（三角函数 + 链式法则）

答案： \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)

延伸阅读