介绍了微积分中函数求导的基本规则以及相关例题。
1. 常数函数的导数
\( f(x) = c \) 的导数，其中 \( c \) 是常数，由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = -10 \)，因此：
\[ f'(x) = 0 \]2. 幂函数的导数（幂法则）
\( f(x) = x^r \) 的导数，其中 \( r \) 是常实数，由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = x^{-2} \)，因此：
\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]3. 常数乘以函数的导数
\( f(x) = c \cdot g(x) \) 的导数，其中 \( c \) 是常数，由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = 3x^3 \)，令 \( c = 3 \) 且 \( g(x) = x^3 \)，则 \( f(x) = c \cdot g(x) \)：
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]4. 函数和的导数（和法则）
\( f(x) = g(x) + h(x) \) 的导数由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = x^2 + 4 \)，令 \( g(x) = x^2 \) 且 \( h(x) = 4 \)：
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]5. 函数差的导数（差法则）
\( f(x) = g(x) - h(x) \) 的导数由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = x^3 - x^{-2} \)，令 \( g(x) = x^3 \) 且 \( h(x) = x^{-2} \)：
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]6. 两个函数乘积的导数（乘积法则）
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) 的导数由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \)，令 \( g(x) = x^2 - 2x \) 且 \( h(x) = x - 2 \)：
\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]展开并合并同类项：
\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]7. 两个函数商的导数（商法则）
\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \) 的导数由下式给出：
例题与解答
已知 \( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \)，令 \( g(x) = x - 2 \) 且 \( h(x) = x + 1 \)。此处 \( g'(x) = 1 \) 且 \( h'(x) = 1 \)：
\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]合并并化简：
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]