使用微积分中的积分求半径为 \( a \) 的圆的面积。
问题解答
上面显示的圆的方程由下式给出：
\[ x^2 + y^2 = a^2 \]该圆关于 x 轴和 y 轴均对称。因此，我们可以求出四分之一圆的面积并将其乘以 4，从而得到圆的总面积。
解出圆方程中的 \( y \)：
\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]上半圆（\( y \ge 0 \)）的方程由下式给出：
\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]在根号内提取公因式 \( a^2 \)：
\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]将 \( a^2 \) 从根号中移出：
\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]我们使用定积分来求圆右上角四分之一部分的面积：
让我们使用三角代换法，令 \( \sin t = \frac{x}{a} \)，从而得到 \( x = a \sin t \) 且 \( dx = a \cos t \, dt \)。该积分变为：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]我们现在使用三角恒等式：
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]这给出 \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \)（因为 \( t \) 在从 \( 0 \) 到 \( \pi/2 \) 的范围内变化）。因此：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]使用降幂公式 \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \) 将被积函数线性化：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]计算该积分：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]化简：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]将四分之一圆的面积乘以 4 即可得到圆的总面积：
圆面积公式：
\[ \text{Area of circle} = 4 \times \left(\dfrac{1}{4} \pi a^2\right) = \pi a^2 \]