问题解答
上面显示的椭圆方程可以写成以下形式：
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]由于椭圆关于 \( x \) 轴和 \( y \) 轴均对称，我们可以求出四分之一椭圆的面积并将其乘以 4，从而得到总面积。
解出上述方程中的 \( y \)：
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]椭圆的上半部分（\( y \) 为正）由下式给出：
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]我们现在使用定积分来求椭圆右上四分之一部分的面积：
我们现在进行三角代换 \( \sin t = \dfrac{x}{a} \)，这给出 \( x = a \sin t \) 且 \( dx = a \cos t \, dt \)。该积分变为：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]由于对于在 \( 0 \) 到 \( \dfrac{\pi}{2} \) 之间变化的 \( t \)，\( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \)，我们有：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]使用降幂公式 \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) 将被积函数线性化：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]计算该积分：
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]通过乘以 4 得到椭圆的总面积：
椭圆面积公式：
\[ \text{Area of ellipse} = 4 \times \dfrac{1}{4} \pi ab = \pi ab \]