傅里叶变换的定义
若 \( f(t) \) 是实变量 \( t \) 的函数，则 \( f \) 的傅里叶变换 \( F(\omega) \) 由以下积分给出：
傅里叶变换积分：
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega t} f(t) \, dt \]
其中 \( j = \sqrt{-1} \) 为虚数单位。
在下文中，\( u(t) \) 为单位阶跃函数，定义如下：
当 \( t \ge 0 \) 时 \( u(t) = 1 \)，当 \( t < 0 \) 时 \( u(t) = 0 \)。
傅里叶变换表
| 函数 \( f(t) \) | 傅里叶变换 \( F(\omega) \) |
|---|---|
| \( u(t) e^{-a t} \), \( a > 0 \) | \( \dfrac{1}{a + j \omega} \) |
| 当 \( -a \le t \le a \) 时 \( f(t) = 1 \) 其他情况下为 \( 0 \) |
\( \dfrac{2 \sin(\omega a)}{\omega} \) |
| \( f(t) = A \)（常数） | \( 2 \pi A \delta(\omega) \) |
| \( \delta(t) \) | \( 1 \) |
| \( \delta(t - a) \) | \( e^{-j \omega a} \) |
| \( \cos(a t) \) | \( \pi [\delta(\omega + a) + \delta(\omega - a)] \) |
| \( \sin(a t) \) | \( -j \pi [\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)] \) |
| \( e^{j a t} \) | \( 2 \pi \delta(\omega - a) \) |
| \( f'(t) \) | \( j \omega F(\omega) \) |
| \( f''(t) \) | \( (j \omega)^2 F(\omega) \) |
| \( t f(t) \) | \( j \dfrac{d F(\omega)}{d \omega} \) |
| \( t^2 f(t) \) | \( j^2 \dfrac{d^2 F(\omega)}{d \omega^2} \) |