无穷区间广义积分的定义 [1] [2]
我们考虑 3 种含有无穷区间的积分：
1 - 积分的上限为无穷大
如果对于所有 \( b \ge a \)，\( \int_a^{b} f(x) \, dx \) 都存在，且极限：
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]存在且为有限值，则形如 \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) 的积分存在且收敛。此时我们记作：
\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]
2 - 积分的下限为负无穷大
如果对于所有 \( b \le a \)，\( \int_b^{a} f(x) \, dx \) 都存在，且极限：
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]存在且为有限值，则形如 \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) 的积分存在且收敛。此时我们记作：
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]
3 - 积分的上下限均为无穷大
如果对于任意实数 \( a \)，以下两个积分：
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{和} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]都收敛，则形如 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) 的积分存在且收敛。此时我们记作：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^a f(x) \, dx + \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]
注意：积分区间在 \( x = a \) 处被拆分，转化为两个各自只有一个无穷极限的积分之和。
例题与解答
例题 1
如果可能的话，计算下列积分：
\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]例题 2
下列积分是收敛的还是发散的？如果收敛，请计算其值。
\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]例题 3
如果可能的话，计算下列积分：
\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]例题 4
如果可能的话，计算下列积分：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]例题 5
对于 \( p \) 的哪些值，以下积分：
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]是收敛的？请用 \( p \) 表示其值。
练习题
如果可能的话，计算下列每一个积分：
- \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(4x+1)^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x}{1+x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{7x^2}{3+x^6} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{e^{2x}}{e^{4x}+3} \, dx \)
更多参考资料与链接
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- 微积分中的积分及其应用