包含带有示例、详细解答以及带有答案的练习题的教程，教你如何运用强大的换元积分法来求积分。
换元积分法复习
换元积分法可用于轻松计算复杂的积分。让我们看一个形式如下的积分：
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]让我们作变量代换 \( u = g(x) \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) 且 \( du = g'(x) \, dx \)。 通过这种代换，定积分转换为：
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]在下文中，\( C \) 表示加在不定积分中的积分常数。
示例与解答
点击每个示例以查看分步解答。
示例 1：求 \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)
令 \( u = ax + b \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = a \) 或 \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \)。通过代换，积分计算如下：
\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]示例 2：求 \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)
令 \( u = 3x - 2 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) 或 \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \)。因此：
\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]示例 3：求 \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)
令 \( u = 2x^2 + 5 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 4x \)、\( du = 4x \, dx \) 或 \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \)。代换后得到：
\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]示例 4：求 \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)
令 \( u = 2x + 1 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) 且 \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \)。解出 \( u = 2x + 1 \) 中的 \( x \) 得到 \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \)。代换后得到：
\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]示例 5：求 \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)
令 \( u = x - 5 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)。代入给定的积分中：
\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]示例 6：求 \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)
令 \( u = x^2 + 2 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) 且 \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \)。代入积分中：
\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]示例 7：求 \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)
令 \( u = \sin(x) \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) 或 \( \cos(x) \, dx = du \)。代入积分中：
\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]示例 8：求 \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)
令 \( u = 4x + 1 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) 或 \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \)。解出 \( x \) 得到 \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \)。代入后得到：
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]示例 9：求 \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)
令 \( u = x - 2 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)、\( dx = du \) 且 \( x = u + 2 \)。代换后得到：
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]示例 10：求 \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)
令 \( u = x + 2 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)、\( dx = du \) 且 \( x = u - 2 \)（因此 \( x + 4 = u + 2 \)）。代入后：
\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]示例 11：求 \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)
令 \( u = x^2 + 3x + 1 \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) 或 \( (2x + 3) \, dx = du \)。该代换计算积分如下：
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]练习题
请使用积分公式表和换元积分法求出以下积分：
- \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)
上述练习题的答案
- \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
- \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
- \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
- \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)