分部积分法复习
分部积分法可用于轻松对函数的乘积进行积分。 分部积分法的主要思想从两个函数 \( u \) 和 \( v \) 的乘积的导数开始，公式如下：
\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]将上述方程重写为：
\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]对方程两边同时取积分：
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]注意到 \( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \)，将表达式简化即可得到分部积分法规则：
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]注意，在被积函数中选择哪个函数作为 \( u \)，哪个函数作为 \( \dfrac{dv}{dx} \)，都必须能够简化公式右侧的积分。
带有详细解答的例题
在下文中，\( c \) 为积分常数。
点击每个例题以查看其详细解答。
例题 1：求 \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)
例题 1 解答：
\( 3 \) 是常数，因此可以提到积分符号外面。
令 \( u = x \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) 且 \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \)。使用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]例题 2：求 \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)
例题 2 解答：
令 \( u = x \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) 且 \( v = -\cos(x) \)。应用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]例题 3：计算 \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)
例题 3 解答：
令 \( u = x^2 \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) 且 \( v = \sin(x) \)。应用分部积分法：
\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]我们现在对剩下的积分 \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \) 再次应用分部积分法。正如例题 2 中所求出的，\( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \)。将其代回：
\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]例题 4：求 \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
例题 4 解答：
令 \( u = \ln(x) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = x \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) 且 \( v = \dfrac{x^2}{2} \)。应用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]例题 5：计算 \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)
例题 5 解答：
令 \( u = x \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) 且 \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \)：
\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]例题 6：使用分部积分法求 \( \displaystyle \int \ln x \, dx \)
例题 6 解答：
我们首先将被积函数 \( \ln(x) \) 改写为 \( 1 \cdot \ln(x) \)：
\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]令 \( u = \ln(x) \) 且 \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \)，因此 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) 且 \( v = x \)。使用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]例题 7：使用分部积分法求 \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \)
例题 7 解答：
令 \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) 且 \( u = (\ln x)^2 \)，因此 \( v = \dfrac{x^3}{3} \) 且 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \)。使用分部积分法：
\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]现在对 \( \int x^2 \ln x \, dx \) 再次应用分部积分法（令 \( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)）：
\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]例题 8：求 \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)
例题 8 解答：
令 \( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \)。
令 \( v = \sin(2x) \) 且 \( \dfrac{du}{dx} = e^x \)，因此 \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \) 且 \( u = e^x \)。使用分部积分法：
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \] \[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]现在对 \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) 再次应用分部积分法（令 \( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)）：
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \] \[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]由于右侧的积分即为 \( I \)，我们有：
\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]解出 \( I \)：
\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \] \[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]练习题
请使用积分公式表和分部积分法求出以下积分。[注意：你可能需要多次使用分部积分法]。
- \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
- \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)
上述练习题的答案
- \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
- \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
- \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
- \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
- \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
- \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
- \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)