求包含 \( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \) 幂次乘积且其中一个的幂次为奇数的积分教程。包含带解答的例题和练习。
在下文中，\( C \) 表示积分常数。
带有详细解答的例题
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例题 1：求 \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)
例题 1 解答：
核心思路是将奇次幂项重写为偶次幂与一个单因子的乘积：
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]因此，给定的积分可以写为：
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]现在我们利用三角恒等式 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) 并代入：
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]令 \( u = \cos(x) \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) 或 \( -du = \sin(x) \, dx \)。将其代入积分中：
\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]展开并计算积分：
\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]代回 \( u = \cos(x) \)：
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]例题 2：求 \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)
例题 2 解答：
将 \( \cos^5(x) \) 重写为 \( \cos^4(x) \cos(x) \)：
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]使用恒等式 \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) 将 \( \cos^4(x) \) 用 \( \sin(x) \) 的幂表示：
\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]令 \( u = \sin(x) \)，则 \( du = \cos(x) \, dx \)。代入积分中：
\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]展开被积函数：
\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]逐项积分：
\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]代回 \( u = \sin(x) \)：
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]练习题
计算下列积分。点击每个练习以查看分步解答。
练习 1：求 \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)
解答：
重写 \( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \)：
\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]令 \( u = \sin(x) \)，\( du = \cos(x) \, dx \)：
\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]代回 \( u = \sin(x) \)：
\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]练习 2：求 \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)
解答：
重写 \( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \)：
\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]令 \( u = \cos(x) \)，\( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \)：
\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]代回 \( u = \cos(x) \)：
\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]