用于化简平方根的三角恒等式
从三角恒等式开始：
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]将上述恒等式重写为：
\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]两边同时开平方根，得到：
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]将恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 的所有项除以 \( \cos^2 x \)（或重新排列），得到另一个恒等式：
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]对上述恒等式的两边开平方根，得到：
\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]恒等式 (II) 也可以写为：
\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]对上述恒等式的两边开平方根，得到：
\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]A - 计算包含形式为 \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) 的表达式的积分
给定表达式：
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]在平方根下提取公因式 \( a^2 \)，并将 \( |a| \) 移到平方根外面：
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]进行代换：
\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]并将表达式 \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) 重写为：
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]例题 1：计算积分 \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)
例题 1 解答：
将被积函数分母中的表达式 \( \sqrt{16 - 4x^2} \) 重写为：
\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]三角代换：令 \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) 或 \( x = 2\sin t \)，从而得到 \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) 或 \( dx = 2\cos t \, dt \)；积分变为：
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]利用恒等式 \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \) 进行化简：
\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]由于是不定积分，我们可以假设 \( \cos t \geq 0 \)，因此 \( |\cos t| = \cos t \)：
\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]使用三角恒等式 \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \)：
\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]计算积分：
\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]由于 \( \dfrac{x}{2} = \sin t \)，有 \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)。代回以得到最终答案：
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]B - 计算包含形式为 \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) 的表达式的积分
给定表达式：
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]在平方根下提取公因式 \( b^2 \)，并将 \( |b| \) 移到平方根外面：
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]进行代换：
\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]并将表达式 \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) 重写为：
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]例题 2：计算积分 \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)
例题 2 解答：
将分子中的表达式 \( \sqrt{25x^2 + 4} \) 重写为：
\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]三角代换：令 \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) 或 \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \)，从而得到 \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \)；积分为：
\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]利用 \( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \) 进行化简：
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]假设 \( \sec t \geq 0 \)，则 \( |\sec t| = \sec t \)：
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]用 \( \sin t \) 和 \( \cos t \) 表示：
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]换元：令 \( w = \sin t \)，则 \( dw = \cos t \, dt \)：
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]使用幂法则进行计算：
\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]反代回 \( w = \sin t \) 和 \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \)：
\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]利用恒等式 \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)，我们将其化简为：
\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]C - 计算包含形式为 \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) 的表达式的积分
给定表达式：
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]在平方根下提取公因式 \( b^2 \)，并将 \( |b| \) 移到平方根外面：
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]进行代换：
\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]并将表达式 \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) 重写为：
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]例题 3：计算积分 \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)
例题 3 解答：
将分母中的表达式 \( \sqrt{4x^2 - 9} \) 重写为：
\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]三角代换：令 \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) 或 \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \)，从而得到 \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \)；积分为：
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]利用 \( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \) 进行化简：
\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]假设 \( \tan t \geq 0 \)，则 \( |\tan t| = \tan t \)：
\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]这是一个标准已知积分：
\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]由于 \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \)，我们有 \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \)。代回：
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]利用恒等式 \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \)，我们将其化简为：
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]练习题
计算下列积分。点击每个练习以查看分步解答。
练习 1：求 \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)
解答：
将分母重写为 \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \)。
令 \( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \)，\( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \)。
代入并化简得：
\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]练习 2：求 \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)
解答：
令 \( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \)，\( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \)。
代入积分并化简得：
\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]练习 3：求 \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)
解答：
将分母重写为 \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \)。
令 \( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \)，\( dx = 2\sec t \tan t \, dt \)。
计算积分得：
\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]