变化率微积分问题及其详细解答呈现如下。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
精选例题
例题 1
一个长方体水箱（见下图）正以 \( 20 \) 升/秒的恒定速率注水。水箱底部的尺寸为宽 \( w = 1 \) 米，长 \( L = 2 \) 米。水箱中水位的变化率是多少？（请将答案用厘米/秒表示）。
显示例题 1 解答
水箱中水的体积 \( V \) 由下式给出：
\[ V = w \times L \times H \]我们已知体积变化率 \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) 升/秒。我们需要求高度 \( H \) 的变化率 \( \dfrac{dH}{dt} \)。由于 \( V \) 和 \( H \) 都是时间 \( t \) 的函数，我们对体积公式的两边关于 \( t \) 求导：
\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]注意： \( w \) 和 \( L \) 不随时间改变，因此在求导过程中被视为常数。
求解 \( \dfrac{dH}{dt} \)：
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]我们将单位转换为厘米和立方厘米：
- \( 1 \) 升 = \( 1 \) 立方分米 = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
- \( 1 \) 米 = \( 100 \; \text{cm} \)
代入数值：
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{sec}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20,000}{20,000} = 1 \; \text{cm/sec} \]例题 2
一架飞机正沿直线且以 \( 5000 \) 米的恒定高度飞行（见下图）。从一个固定观察点望去，飞机的仰角为 \( a \)。飞机的飞行速度为 \( 500 \) km/hr。当仰角为 \( 25^\circ \) 时，角 \( a \) 的变化率是多少？（请将答案用度/秒表示，并保留一位小数）。
显示例题 2 解答
飞机以 \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} \) 的速率水平飞行。通过三角函数，我们将角 \( a \)、高度 \( h \) 和水平距离 \( x \) 关联起来：
\[ \tan a = \frac{h}{x} \]由于 \( a \) 和 \( x \) 都是时间 \( t \) 的函数，我们对两边关于 \( t \) 求导：
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]使用链式法则：
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{因为 } h \text{ 是常数}) \]使两个导数相等：
\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]由 \( \tan a = \dfrac{h}{x} \)，我们有 \( x = \dfrac{h}{\tan a} \)。代入 \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a} \)：
\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]使用单位换算（\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \)，\( 1 \; \text{hour} = 3600 \; \text{sec} \)），速度 \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} = \dfrac{500,000 \; \text{m}}{3600 \; \text{sec}} \)，高度 \( h = 5000 \; \text{m} \)，且 \( a = 25^\circ \)：
\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500,000}{3600}\right) \approx -0.005 \; \text{radians/sec} \]将弧度转换为度（\( 180/\pi \)）：
\[ \frac{da}{dt} = -0.005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0.2865 \approx -0.3 \; \text{degrees/sec} \]例题 3
如果两个电阻阻值分别为 \( R_1 \) 和 \( R_2 \) 并联接入电路（见下图），其电学等效电阻 \( R \) 满足下式：
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]如果 \( R_1 \) 随时间变化且变化率为 \( \dfrac{dR_1}{dt} \)，而 \( R_2 \) 保持常数，请用 \( \dfrac{dR_1}{dt} \)、\( R_1 \) 和 \( R_2 \) 表示等效电阻的变化率 \( \dfrac{dR}{dt} \)。
显示例题 3 解答
对并联电阻方程的两边关于时间 \( t \) 求导（注意 \( R_2 \) 是常数）：
\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]重新整理求 \( \dfrac{dR}{dt} \)：
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]由 \( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \)，我们可以显式表达出 \( R \)：
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]将 \( R \) 代入导数方程中：
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]练习题与解答
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求充气气球体积的变化率 \( \dfrac{dV}{dt} \) 的公式，已知气球半径 \( R \) 增加的速率等于 \( \dfrac{dR}{dt} \)。
显示练习题 1 解答
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \] -
求正方形面积 \( A \) 的变化率 \( \dfrac{dA}{dt} \) 的公式，已知其边长 \( x \) 厘米以 \( 2 \; \text{cm/sec} \) 的速率变化。
显示练习题 2 解答
\[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{sec} \] -
两辆汽车从同一点出发，沿成 \( 90^\circ \) 角的两个方向以恒定速度 \( s_1 \) 和 \( s_2 \) 行驶。求两车之间距离 \( D \) 的变化率公式。
显示练习题 3 解答
\[ D^2 = x^2 + y^2 \] 对 \( t \) 进行隐式求导： \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] 由于 \( x = s_1 t \)、\( y = s_2 t \) 且 \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \)： \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]