在微积分中，函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的积分被定义为黎曼和的极限。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
黎曼和
让我们将区间 \( [a, b] \) 分割成 \( n \) 个子区间，每个子区间的宽度为 \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)。然后我们可以在每个子区间 \( [x_{i-1}, x_i] \)（其中 \( i = 1, 2, \ldots, n \)）中选择一个样点 \( x_i \)。
与此分割和样点选择相关的黎曼和由下式给出：
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]作为极限的积分
当 \( n \) 趋向无穷大时，黎曼和的极限被定义为 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上的定积分，表示为：
\[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]