函数的绝对最大值与绝对最小值

当 \(f'(x_0) = 0\) 且 \(f'(x)\) 的符号发生改变时，\(x_0\) 可能对应一个局部（也可能是绝对的）最大值或最小值。

极值也可能发生在导数不存在的点上。

考虑区间 \([-1, 5/2]\) 上的 \(f(x) = x^3 - 2x^2\)。虽然存在局部极值，但绝对极值发生在区间端点处：

求在区间 \([-2 , 3]\) 上由 \[ f(x) = - x^2 + 2 x - 2 \] 定义的函数 \(f\) 的绝对最大值和绝对最小值。

例 4 的解答

第 1 步：计算一阶导数
为了求函数的绝对最大值和最小值，我们首先计算 \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\) 的一阶导数：
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

第 2 步：确定临界点
令导数等于零以寻找临界点：
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
由于一阶导数在区间 \([-2, 3]\) 的所有 \(x\) 处都有定义，且 \(x = 1\) 位于该区间内，因此它是一个合法的临界点。

第 3 步：在端点和临界点处求函数值
现在，在区间端点以及临界点 \(x = 1\) 处计算原函数的值：
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

结论：
- 绝对最大值为 \(f(1) = -1\)，在 \(x = 1\) 处取得。
- 绝对最小值为 \(f(-2) = -10\)，在 \(x = -2\) 处取得。

下图展示了该函数的图像，标注了临界点和端点，并突出了绝对最大值和最小值：

确定闭区间 \([-1, 1]\) 上函数 \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) 的绝对最大值和绝对最小值。

例 5 的解答

第 1 步：计算一阶导数

对函数求导以寻找其临界点：

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

第 2 步：通过求解 \( f'(x) = 0 \) 寻找临界点

令导数等于零：

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

解得 \( x = 0 \)、\( x = 1 \) 和 \( x = -2 \)。然而，只有 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \) 位于区间 \([-1, 1]\) 内。因此，定义域内的临界点为 \( x = 0 \) 和 \( x = 1 \)。

第 3 步：在端点和临界点处求函数值

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

第 4 步：确定绝对最大值和最小值

• 绝对最大值：\( f(0) = 0 \)（在 \( x = 0 \) 处）
• 绝对最小值：\( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \)（在 \( x = -1 \) 处）

下图展示了函数 \( f(x) \) 的图像，标出了临界点、端点以及绝对最大值和最小值的位置。

求闭区间 \([0.5 , 2]\) 上函数 \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) 的绝对最大值和绝对最小值。

例 6 的解答

第 1 步：计算一阶导数

我们使用乘积法则进行求导： \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

第 2 步：寻找临界点

令一阶导数等于零： \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \]

求解：

• \( x = 0 \)（由于不在定义域内而舍去）
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

只有 \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) 位于区间 \([0.5 , 2]\) 内，因此它是定义域内唯一的临界点。

第 3 步：在端点和临界点处求函数值

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

最终答案

• 绝对最大值：\( \boxed{1.772} \)（在 \( x = 2 \) 处）
• 绝对最小值：\( \boxed{-1.1839} \)（在 \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) 处）

求闭区间 \([-1.1 , 4]\) 上函数 \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) 的绝对最大值和绝对最小值。

例 7 的解答

第 1 步：改写并对函数求导

利用恒等式 \( |u| = \sqrt{u^2} \) 改写函数：

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

现在进行求导：

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

第 2 步：寻找临界点

当分母为零时导数不存在：

令 \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) 和 \( x = 3 \)

要寻找 \( f'(x) = 0 \) 的点，求解：

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     （方程 1）

情况 1：\( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

此时 \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \)，方程 1 变为：

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

解得：\( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

情况 2：\( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

此时 \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \)，方程 1 变为：

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

解得：\( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

验证临界点

• \( x = -1 \), \( x = 3 \)：导数不存在 —— 属于临界点。
• \( x = \dfrac{1}{2} \)：代入分子 \(\Rightarrow\) 结果为 0 \(\Rightarrow\) 合法的临界点。
• \( x = \dfrac{3}{2} \)：代入分子 \(\Rightarrow\) 不为 0 \(\Rightarrow\) 不是临界点。

结论：\( f(x) \) 的临界点为：\( x = -1 \)、\( x = \dfrac{1}{2} \) 和 \( x = 3 \)。

第 3 步：在端点和临界点处求 \( f(x) \) 的值

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

最终答案：

• 绝对最大值：\( f(x) = 3.25 \)（在 \( x = \dfrac{1}{2} \) 处）
• 绝对最小值：\( f(x) = -3 \)（在 \( x = 3 \) 处）

函数图像

下方给出的 \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) 的图像展示了临界点、区间 \([-1.1 , 4]\) 的端点，以及绝对最大值和最小值。

求在区间 \([-3 , 4]\) 上由 \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \] 定义的函数 \( f \) 的绝对最大值和最小值。

例 8 的解答

第 1 步：求函数的一阶导数
给定函数：
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

其一阶导数为：
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5} } \]

第 2 步：确定临界点
由于分子为常数，导数 \( f'(x) \) 没有零点。
然而，当分母为零时，导数不存在，即当 \( x = 2 \) 时。
因此，\( x = 2 \) 是一个临界点，因为导数在该点处没有定义。

第 3 步：在端点和临界点处求 f(x) 的值
计算区间 \([-3, 4]\) 内关键点的函数值：

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

第 4 步：确定绝对最大值和最小值
根据上述计算结果：

• 绝对最小值：0（在 \( x = 2 \) 处）
• 绝对最大值：约为 1.90（在 \( x = -3 \) 处）

图形表示：
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) 在区间 \([-3, 4]\) 上的图像证实了 \( x = 2 \) 处的临界点，以及绝对最小值和最大值。