什么是函数的临界数？

如果函数 f 定义域中的某个数 a 满足 f'(a) = 0 或者 f'(a) 在 x = a 处不存在，则称 a 为 f 的临界数。

如何求多项式函数的临界数？

求出多项式函数的一阶导数，使其等于零，并求解 x。位于函数定义域内的所有实数解即为临界数。

只有当点 x = a 位于原函数 f 的实际定义域内时，它才是临界数。

学习如何利用导数识别各种函数类型（包括多项式、绝对值、有理表达式和根式）的临界数。

如果函数 \( f \) 的定义域中的某个数 \( a \) 满足以下条件之一，则称 \( a \) 为 \( f \) 的临界数：

\[ f'(a) = 0 \quad \text{或} \quad f' \text{ 在 } x = a \text{ 处不存在。} \]

例 1：多项式函数 \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)

\( f \) 的定义域是所有实数。其导数为：

\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]

由于 \( f' \) 处处有定义，求解 \( f'(x) = 0 \)：

\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]

\( x = 1 \) 和 \( x = -1 \) 均在定义域内，因此它们都是临界数。

例 2：绝对值函数 \( f(x) = |x - 2| \)

定义域为所有实数。由于 \( |u| = \sqrt{u^{2}} \)（其中 \( u = x - 2 \)），将 \( f \) 改写为：

\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]

利用链式法则，导数为：

\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]

注意，\( f' \) 在 \( x = 2 \) 处不存在。由于 \( 2 \) 在定义域内，它是一个临界数。

例 3：导数图形分析

求某个函数 \( f \) 的临界数，其导数 \( f' \) 的图形如下所示。

临界数为 \( x = 1, -2, -3 \)（此时 \( f'(x) = 0 \)）以及 \( x = 0 \)（此时 \( f' \) 不存在）。

例 4：有理函数 \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)

定义域为除 \( x = -3 \) 以外的所有实数。利用商法则，导数为：

\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]

令分子等于零：

\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ 或 } x = 1. \]

尽管 \( f' \) 在 \( x = -3 \) 处不存在，但 \( -3 \) 不在定义域内，因此它不是临界数。因此，临界数为 \( x = -7 \) 和 \( x = 1 \)。

例 5：根式函数 \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)

定义域是所有实数。其导数为：

\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]

导数在 \( x = 2 \) 处不存在，而 \( 2 \) 位于定义域内。因此，\( x = 2 \) 是一个临界数。

求下列函数的临界数：

\( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
\( f(x) = |x + 4| + 3 \)
\( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
\( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)