本页面演示如何使用求导来证明重要的三角恒等式： \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] 对定义域 \([-1, 1]\) 内的所有 \( x \) 值均成立。
方法概述
为了证明这个恒等式，我们定义一个辅助函数： \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] 我们将通过计算其一阶导数，并证明其在开区间 \((-1, 1)\) 上的各处均等于零，来表明 \( f(x) \) 在其定义域上是常数。
分步证明
第 1 步：计算一阶导数
回顾反正弦函数和反余弦函数的标准导数公式：
- \( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
逐项对 \( f(x) \) 求导得到： \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]
第 2 步：确定函数为常数
既然对于所有 \( x \in (-1, 1) \) 都有 \( f'(x) = 0 \)，根据中值定理（或常数函数的性质），可以得出 \( f(x) \) 在整个区间内必然是一个常数值，设为 \( C \）。通过连续性，这种常数性质可以延伸到闭端点 \([-1, 1]\）。
第 3 步：在特定点处求值
为了确定这个常数 \( C \) 的确切值，我们在定义域内选择一个易于计算的点来求 \( f(x) \) 的值。我们选择 \( x = 0 \)： \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \] 由于 \( \arcsin(0) = 0 \) 且 \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \)： \[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]
最终结果
因为 \( f(x) \) 是一个在其定义域处处等于 \( \dfrac{\pi}{2} \) 的常数函数，我们得出结论： \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] 对所有 \( x \in [-1, 1] \) 均成立。