二次函数的导数、最大值与最小值

A - 一般式二次函数

处于一般式的二次函数写作：

\(f\) 的一阶导数为：

为了确定最大值或最小值点以及单调区间，需分析 \(f'(x)\) 的符号。导数大于零的条件为：

我们根据 \(a\) 的符号分为两种情况进行讨论：

情况 1：\(a > 0\)

不等式两边同除以 \(2a > 0\)，得到：

下表总结了 \(f'(x)\) 的符号以及 \(f\) 的单调性：

因此，该二次函数在 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\) 处取得最小值，在 \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) 上单调递减，在 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\) 上单调递增。

情况 2：\(a < 0\)

不等式两边同除以 \(2a < 0\) 会改变不等号方向：

\(f'(x)\) 的符号分析如下表所示：

在这种情况下，该二次函数在 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\) 处取得最大值，在 \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) 上单调递增，在 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\) 上单调递减。

B - 顶点式二次函数

处于顶点式的二次函数写作：

其导数为：

我们通过分析以下不等式来确定 \(f'(x)\) 的符号：

情况 1：\(a > 0\)

不等式两边同除以 \(a > 0\)：

使用下表进行符号分析：

因此，该二次函数在 \((h, k)\) 处取得最小值，在 \((-\infty, h)\) 上单调递减，在 \((h, +\infty)\) 上单调递增。

情况 2：\(a < 0\)

不等式两边同除以 \(a < 0\) 会改变不等号方向：

\(f'(x)\) 的符号分析如下：

在此情况下，该二次函数在 \((h, k)\) 处取得最大值，在 \((-\infty, h)\) 上单调递增，在 \((h, +\infty)\) 上单调递减。

经典例题

例 1：求 \( f(x) = 2x^2 - 8x + 1 \) 的极值

首先，求出一阶导数：

\[ f'(x) = 4x - 8 \]

导数在 \(x = \dfrac{8}{4} = 2\) 处改变符号。由于 \(a = 2 > 0\)，\(f\) 在 \((2, f(2)) = (2, -7)\) 处取得最小值。

函数单调性：

• 在 \((-\infty, 2)\) 上单调递减
• 在 \((2, +\infty)\) 上单调递增

例 2：求 \( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \) 的极值

导数为：

\[ f'(x) = -2(x + 3) \]

导数在 \(x = -3\) 处改变符号。由于 \(a = -1 < 0\)，\(f\) 在 \((-3, 1)\) 处取得最大值。

函数单调性：

• 在 \((-\infty, -3)\) 上单调递增
• 在 \((-3, +\infty)\) 上单调递减

二次函数性质练习题

对于下面的每个二次函数，求出其极值（最小值或最大值）、单调递增区间以及单调递减区间：

1. \( f(x) = x^2 + 6x \)
2. \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
3. \( f(x) = x^2 - 5 \)
4. \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
5. \( f(x) = -x^2 \)

练习题答案