微积分中的现实生活优化问题与解答

求两个正数，使得它们的乘积等于 10 且它们的和尽可能小。用图表验证你的答案。

解答

设 \( x \) 为第一个数，\( y \) 为第二个数，其中 \( x > 0 \) 且 \( y > 0 \)。设 \( S \) 表示要最小化的和。

• 和：\( S = x + y \)   ← 这是要最小化的函数
• 乘积约束：\( x \cdot y = 10 \)   ← 变量之间的关系

从约束条件中解出 \( y \)：\( y = \dfrac{10}{x} \)

将其代入和函数中，得到关于单变量的函数： \[ S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x} \quad \text{定义域为} \quad x > 0 \]

求 \( S(x) \) 的一阶导数： \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]

令导数等于零以寻找临界点： \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]

我们舍去 \( x = -\sqrt{10} \)，因为 \( x \) 必须为正。所以 \( x = \sqrt{10} \) 是一个临界点。

检查二阶导数以确定凹凸性： \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] 既然 \( x > 0 \)，则 \( S''(x) > 0 \)，因此图像是向上凹的。因此，\( x = \sqrt{10} \) 是一个最小值。

这两个数为： \[ x = \sqrt{10} \approx 3.16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \]

\( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \) 的图像在 \( x \approx 3.16 \) 处显示出最小值，验证了该结果。

求两个正数，使得第一个数的六倍与第二数的两倍之和等于 150，且它们的乘积尽可能大。

解答

设 \( x \) 为第一个数，\( y \) 为第二个数。设 \( P \) 表示要最大化的乘积。

目标函数为：\( P = x \cdot y \)

约束条件为：\( 6x + 2y = 150 \)

从约束条件中解出 \( y \)：\( y = 75 - 3x \)

代入乘积函数：\( P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \)

计算一阶导数：\( P'(x) = 75 - 6x \)

令导数等于零以求临界点：\( 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \)

计算二阶导数：\( P''(x) = -6 \)。既然 \( P''(x) < 0 \)，函数是向下凹的，确认了最大值的存在。

现在求 \( y \)：\( y = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \)

结论：使乘积最大的两个正数为：

• \( x = \dfrac{25}{2} = 12.5 \)
• \( y = \dfrac{75}{2} = 37.5 \)

假设你需要用 180 米的栅栏围出两个尺寸相同、且有一条公共边的矩形田地。求矩形的尺寸，使得总围栏面积最大。

解答

设 \( L \) 为每个矩形的长度，\( W \) 为宽度。宽度为共用边。

总面积：\( A = 2LW \)
栅栏约束：\( 4L + 3W = 180 \)。
解出 \( W \)：\( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \)。
作为 \( L \) 的函数的面积： \[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \] 由约束条件可知定义域为 \( L \in [0, 45] \)。
导数：\( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \)。
求解 \( A'(L) = 0 \implies L = 22.5 \)。
求值：

• \( A(0) = 0 \)
• \( A(45) = 0 \)
• \( A(22.5) = -\dfrac{8}{3}(22.5)^2 + 120 \cdot 22.5 = 1350 \)

最大面积出现在 \( L = 22.5 \)，\( W = 60 - \dfrac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \)。

尺寸：\( 22.5 \) 米 乘以 \( 30 \) 米。

将一条长 100 厘米的铁丝剪成两段。一段弯成一个正方形，另一段弯成一个圆。求两段铁丝的长度，使得正方形和圆所包围的总面积最小。

解答

设 \( x \) 为用于正方形的铁丝长度，\( y \) 用于圆。总铁丝长度：\( x + y = 100 \)。

第 1 步：用 \( x \) 表示面积

对于正方形：\( x = 4s \implies s = \dfrac{x}{4} \implies A_{\text{正方形}} = \dfrac{x^2}{16} \)
对于圆：\( y = 2\pi r \implies r = \dfrac{y}{2\pi} \implies A_{\text{圆}} = \dfrac{y^2}{4\pi} \)
总面积：\( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \)

第 2 步：最小化面积

导数：\( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \)
令导数等于 0： \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \implies 2\pi x = 8(100 - x) \implies x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \] 近似计算：\( x \approx 56 \) 厘米，\( y = 100 - x \approx 44 \) 厘米。

第 3 步：验证最小值

\( A(0) \approx 795 \), \( A(100) = 625 \), \( A(56) \approx 350 \)。

最终答案

• 正方形大约使用 56 厘米。
• 圆大约使用 44 厘米。

制作一个正方形端面边长为 \( x \)、长度为 \( L \) 的箱子，满足 \( L + 4x = 4 \) 米。求能使箱子体积最大的尺寸。

解答

体积：\( V = x^2 L \)
约束条件：\( L + 4x = 4 \implies L = 4 - 4x \)
代入：\( V(x) = x^2(4 - 4x) \)，定义域为 \( [0, 1] \)。
导数：\( V'(x) = 8x - 12x^2 \)
临界点：\( 8x - 12x^2 = 0 \implies x(8 - 12x) = 0 \implies x = 0 \) 或 \( x = \dfrac{2}{3} \)。
求值：\( V(0) = 0 \)，\( V\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{16}{27} \)，\( V(1) = 0 \)。

在 \( x = \dfrac{2}{3} \) 米处取最大值。
\( L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \) 米。

最终答案：正方形端面边长为 \( \dfrac{2}{3} \) 米，长度为 \( \dfrac{4}{3} \) 米，最大体积为 \( \dfrac{16}{27} \text{ 米}^3 \)。

电子计算器的总成本为 21 美元。如果每台机器以 \( x \) 美元的价格出售，售出的机器数量 \( n \) 由 \( n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \) 给出。

解答

利润函数：\( P(x) = n(x - 21) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \)
化简：\( P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \)，定义域为 \( x \in (21, \infty) \)。
导数：\( P'(x) = -20x + 710 \)
令其等于零：\( -20x + 710 = 0 \implies x = 35.5 \)。
二阶导数：\( P''(x) = -20 < 0 \)（向下凹，即最大值）。

最终答案

使利润最大化的售价为 \( \boxed{x = 35.5 \text{ 美元}} \)。

求内接于 \( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) 下方且位于 x 轴上方的面积最大的矩形的尺寸。

解答

设 \( x \) 为底边长的一半。面积：\( A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \)。

导数：\( A'(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2} \)
令其为零：\( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \)。
二阶导数检验确认在 \( x = 1 \) 处取得最大值。

最终答案

长 = \( 2(1) = 2 \)，宽 = \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \)。尺寸为 2 单位 乘以 0.5 单位。

求内接于高为 4、斜边为 5 的直角三角形中的最大面积矩形的尺寸。

解答

三角形底边：\( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \)。

利用相似三角形：\( \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4 \)。
面积：\( A(w) = w\left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w \)。
导数：\( A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5 \)。
高：\( h = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}) + 4 = 2 \)。

最终答案

尺寸：\( w = 1.5 \)，\( h = 2 \)。

解析证明对于 \( 0 \leq x \leq 2\pi \)，\( f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x) \) 永不为正。

解答

导数：\( f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) \)。
在 \( [0, 2\pi] \) 内的临界点：\( x = 0, \pi, 2\pi \)。
求值：\( f(0) = -8 \), \( f(2\pi) = -8 \), \( f(\pi) = 0 \)。

结论

由于 \( f(x) \) 在 \( [0, 2\pi] \) 上的最大值为 \( 0 \)，因此该函数永不为正。

求母线长为 5 厘米的圆锥的半径 \( r \) 和高 \( h \)，使得体积最大。

解答

体积：\( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \)
约束条件：\( h^2 + r^2 = 25 \implies h = \sqrt{25 - r^2} \)
体积函数：\( V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2} \)
导数：\( V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}} \)
临界点：\( 50r - 3r^3 = 0 \implies r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08 \)。
高：\( h = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88 \)。

求直线 \( y = 4 - x \) 上距离 \( (6, 3) \) 最近的点。

解答

直线上的一般点：\( M = (x, 4 - x) \)。
距离的平方：\( D^2 = (x - 6)^2 + (1 - x)^2 = 2x^2 - 14x + 37 \)。
导数：\( 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2} \)。
\( y = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \)。

最终答案：\( \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)} \)。

已知海上铺设成本为 \( 3k \)，沿岸铺设成本为 \( k \)，求能使总管道成本最小的海上距离和沿岸距离。

解答

设 \( x \) 为沿海岸从 \( B \) 到 \( D \) 的距离。海岸长度 \( CD = 40 - x \)，海上长度 \( y = \sqrt{30^2 + (40-x)^2} \)。
总成本：\( C_t(x) = kx + 3ky = kx + 3k\sqrt{900 + (40-x)^2} \)。
求导并求解临界点得到 \( x \approx 29.40 \) 公里，海上距离 \( y \approx 31.81 \) 公里。

证明如果 \( x + y = K \)，则 \( x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \)。

解答

乘积函数：\( P(x) = x(K - x) = -x^2 + Kx \)。
导数：\( P'(x) = -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2} \)。
二阶导数 \( P''(x) = -2 < 0 \) 确认在 \( x = \dfrac{K}{2}, y = \dfrac{K}{2} \) 处取得最大值。
最大乘积：\( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \)。