问题与解答
问题 1
求线性函数 \[ f(x) = ax + b \] 的参数 \(a\) 和 \(b\)，使得 \[ f^{-1}(2) = 3 \quad \text{且} \quad f^{-1}(-3) = 6. \]
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- 由反函数的定义： \[ f^{-1}(2) = 3 \Rightarrow f(3) = 2, \quad f^{-1}(-3) = 6 \Rightarrow f(6) = -3. \]
- 代入 \(f(x) = ax + b\)： \[ 3a + b = 2, \quad 6a + b = -3. \]
- 解方程组得： \[ a = -\frac{5}{3}, \quad b = 7. \]
问题 2
已知 \( f(x) \) 为奇函数，且
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
求 \(f^{-1}(3)\) 和 \(f^{-1}(-12)\)。
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- 由于 \(f(1) = 3\)，可得： \[ f^{-1}(3) = 1. \]
- 函数 \(f\) 为奇函数，所以： \[ f(-2) = -f(2) = -12 \Rightarrow f^{-1}(-12) = -2. \]
问题 3
证明可逆奇函数的反函数也是奇函数。
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- 由反函数的定义： \[ f(f^{-1}(x)) = x. \]
- 将 \(x\) 替换为 \(-x\)： \[ f(f^{-1}(-x)) = -x. \]
- 由于 \(f\) 为奇函数： \[ f(-u) = -f(u), \] 这意味着： \[ f(-f^{-1}(-x)) = x. \]
- 比较两个表达式： \[ f^{-1}(x) = -f^{-1}(-x), \] 证明 \(f^{-1}\) 为奇函数。
问题 4
设 \[ f(x) = \frac{1}{x - 2}. \] 求 \(f\) 的图像与其反函数图像的交点。绘制 \(f\)、\(f^{-1}\) 及直线 \(y = x\)。
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- 从下式开始： \[ y = \frac{1}{x - 2}. \]
- 交换 \(x\) 和 \(y\)： \[ x = \frac{1}{y - 2}. \]
- 解出 \(y\)： \[ y = \frac{1}{x} + 2 = f^{-1}(x). \]
- 解方程： \[ \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{x} + 2. \] 得： \[ x = 1 \pm \sqrt{2}. \]
- 交点为： \[ (1 + \sqrt{2},\, 1 + \sqrt{2}), \quad (1 - \sqrt{2},\, 1 - \sqrt{2}). \]
问题 5
绘制函数 \[ f(x) = |x - 2| + 2x, \] 的图像，求其反函数，并绘制两者。
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- 当 \(x < 2\) 时： \[ f(x) = -(x - 2) + 2x = x + 2. \]
- 当 \(x \ge 2\) 时： \[ f(x) = (x - 2) + 2x = 3x - 2. \]
- 从图中可知，\(f\) 上的样本点为： \[ (-2,0),\ (2,4),\ (3,7). \]
- 对应的 \(f^{-1}\) 上的点为： \[ (0,-2),\ (4,2),\ (7,3). \]
- 解出反函数得： \[ f^{-1}(x) = -\frac{1}{3}|x - 4| + \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}. \]
