微积分第二基本定理 – 问题及解答

本页提供基于微积分第二基本定理的微积分问题及详细解答。每个解答隐藏在可折叠下拉框中，您可以先独立练习，再查看步骤。

定理

微积分第二基本定理指出，若 \( f \) 在包含 \( a \) 的区间 \( I \) 上连续，且

\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt \]

则

\[ F'(x) = f(x) \]

对所有 \( x \in I \) 成立。

问题与解答

问题 1

若

\[ F(x) = \int_3^x \sin(t^2)\,dt \]

将 \( F'(\pi/2) \) 近似到三位小数。

查看解答
  • 由于 \( \sin(t^2) \) 对所有实数 \( t \) 连续，第二基本定理适用： \[ F'(x) = \sin(x^2) \]
  • 在 \( x = \pi/2 \) 处计算： \[ F'(\pi/2) = \sin\!\left(\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\right) \approx 0.624 \]

问题 2

设

\[ F(x) = \int_0^x \frac{5}{3 + 2e^t}\,dt \]

a) 求 \( F'(0) \)。
b) 证明 \( F(1) < F(4) \)。

查看解答
  • 由于 \( \frac{5}{3 + 2e^t} \) 连续，定理给出： \[ F'(x) = \frac{5}{3 + 2e^x} \]
  • 在 \( x = 0 \) 处计算： \[ F'(0) = \frac{5}{3 + 2e^0} = \frac{5}{5} = 1 \]
  • 因为对所有 \( x \) 都有 \( F'(x) > 0 \)，所以函数 \( F \) 递增。 由于 \( 4 > 1 \)，可得 \[ F(1) < F(4) \]

问题 3

设

\[ F(x) = \int_{-1}^{x^2} \frac{1}{1+t^2}\,dt \]

求 \( F'(x) \)。

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  • 令 \( u = x^2 \)。则 \[ F(u) = \int_{-1}^{u} \frac{1}{1+t^2}\,dt \]
  • 由第二基本定理： \[ \frac{dF}{du} = \frac{1}{1+u^2} \]
  • 应用链式法则： \[ F'(x) = \frac{dF}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^4}\cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4} \]

问题 4

设

\[ F(x) = \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt \]

其中 \( f \) 连续，\( u \)、\( v \) 是 \( x \) 的可微函数。写出 \( F'(x) \)。

查看解答
  • 利用固定常数 \( a \) 重写积分： \[ F(x) = -\int_a^{u(x)} f(t)\,dt + \int_a^{v(x)} f(t)\,dt \]
  • 由第二基本定理： \[ \frac{d}{du}\!\left(-\int_a^u f(t)\,dt\right) = -f(u), \quad \frac{d}{dv}\!\left(\int_a^v f(t)\,dt\right) = f(v) \]
  • 应用链式法则： \[ F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x)) \]

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