什么是周期函数？
周期函数应用于研究电气和电子系统中的信号与波、机械和土木工程系统中的振动、物理学和无线系统中的波，以及许多其他应用。
周期函数的图像在函数定义域内的 \( x \) 上以周期重复。如果 \( f \) 在一个周期上已知，则由于图像重复，它在 \( f \) 的整个定义域上都已知。
如果对于 \( f \) 定义域内的 \( x \)，有：
\[ f(x) = f(x + P) \]则称函数 \( f \) 是周期为 \( P \) 的周期函数。
\( P \) 是使上述条件成立的最小正实数。下图展示了一个具有两个周期的周期函数示例。周期 \( P \) 是沿 x 轴方向构成一个周期的任意两点之间的距离：
\[ P = x_2 - x_1 = x_4 - x_3 \]
例 1：三角函数
所有六个三角函数都是周期函数：
- \( \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \)，\( \sin(x) \) 的周期等于 \( P = 2\pi \)。
下图展示了 \( \sin(x) \) 的一个周期（红色部分），其在 x 轴上的长度等于一个周期 \( P \)：\( P = 2\pi - 0 = 2\pi \)
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- \( \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \)，\( \cos(x) \) 的周期等于 \( P = 2\pi \)。
- \( \sec(x + 2\pi) = \sec(x) \)，\( \sec(x) \) 的周期等于 \( P = 2\pi \)。
- \( \csc(x + 2\pi) = \csc(x) \)，\( \csc(x) \) 的周期等于 \( P = 2\pi \)。
- \( \tan(x + \pi) = \tan(x) \)，\( \tan(x) \) 的周期等于 \( P = \pi \)。
下图展示了 \( \tan(x) \) 的一个周期（红色部分），其在 x 轴上的长度等于一个周期 \( P \)：\( P = \dfrac{\pi}{2} - \left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \pi \)
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- \( \cot(x + \pi) = \cot(x) \)，\( \cot(x) \) 的周期等于 \( P = \pi \)。
变换后函数的周期
- 如果 \( f(x) \) 的周期为 \( P \)，则 \( A f(b x + c) + D \) 的周期为 \( \dfrac{P}{|b|} \)。
- 如果 \( f(x) \) 的周期为 \( P \)，则对任意整数 \( n \)，\( f(x + n P) = f(x) \)。
示例与详细解答
例 2
利用例 1 中给出的三角函数周期，求以下各函数的周期：
- \( f(x) = \sin(0.5 x) \)
- \( g(x) = \tan(2 x + \pi/6) \)
- \( h(x) = \cos(-(2/3) x - \pi) \)
- \( j(x) = \sec(\pi x - 2) \)
- \( k(x) = \cot(-(2\pi/3) x) \)
查看解答
- \( \sin(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)。使用公式，\( f(x) = \sin(0.5 x) \) 的周期为： \[ \dfrac{2\pi}{|0.5|} = 4\pi \]
- \( \tan(x) \) 的周期为 \( \pi \)，因此 \( g(x) = \tan(2 x + \pi/6) \) 的周期等于： \[ \dfrac{\pi}{|2|} = \frac{\pi}{2} \]
- \( \cos(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)，因此 \( h(x) = \cos(-(2/3) x - \pi) \) 的周期等于： \[ \dfrac{2\pi}{|-2/3|} = 3\pi \]
- \( \sec(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)，\( j(x) = \sec(\pi x - 2) \) 的周期为： \[ \dfrac{2\pi}{|\pi|} = 2 \]
- \( \cot(x) \) 的周期为 \( \pi \)，\( k(x) = \cot(-(2\pi/3) x) \) 的周期为： \[ \dfrac{\pi}{|-2\pi/3|} = \frac{3}{2} \]
例 3
求以下各函数的周期：
- \( f(x) = \sin(x) \cos(x) \)
- \( g(x) = \sin^2(x) \)
- \( h(x) = \cos(x) + \sin(x) \)
查看解答
- 利用恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)，将 \( f(x) = \sin(x) \cos(x) = \dfrac{1}{2} \sin(2x) \)。因此，\( f(x) \) 的周期为： \[ \dfrac{2\pi}{|2|} = \pi \]
- 利用恒等式 \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \)（或 \( \sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2} \)），将 \( g(x) = \sin^2(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos(2x) \)。因此，\( g(x) \) 的周期为： \[ \dfrac{2\pi}{|2|} = \pi \]
- 通过提取 \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) 重写 \( h(x) = \cos(x) + \sin(x) \)： \[ h(x) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x) \right) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4) \] 计算 \( h(x) \) 的周期： \[ \dfrac{2\pi}{|1|} = 2\pi \]