要进行根式表达式的加减运算，你必须识别出“同类”根式。这个过程与多项式代数中合并同类项完全相同。
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同类根式的定义
只有当根式表达式拥有完全相同的根指数和相同的被开方数时，它们才被认为是同类根式。
- \( 6 \sqrt[3]{5} \) 和 \( -5 \sqrt[3]{5} \) 是同类的（根指数：3，被开方数：5）。
- \( 7 \sqrt[3]{8} \) 和 \( -5 \sqrt[3]{9} \) 不是同类的（被开方数 8 和 9 不同）。
- \( 3 \sqrt{2x} \) 和 \( -5 \sqrt{2x} \) 是同类的（根指数：2，被开方数：\(2x\)）。
基础加减法示例
只有同类根式才能通过提取公因式并合并其系数来进行加法或减法运算。
示例 1： \( 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \)
\[ 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \]
示例 2： \( 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \)
\[ 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \]
示例 3： \( -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \)
\[ \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \]
示例 4： \( -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \)
\[ \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]
异类根式的转化
当被开方数不同时，首先通过提取完全平方数（或立方数）来化简它们，看看是否能将它们转化为同类根式。
示例 5： \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \)
\[ 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
示例 6： \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
对 12 和 108 进行质因数分解：\(12 = 2^2 \cdot 3\) 且 \(108 = 2^2 \cdot 3^3\)。
\[ -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]示例 7： \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \)
\[ \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]
练习题与解答
练习 1：\( -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
\[ (-2+4)\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]
练习 2：\( 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
\[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 = 20\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]
练习 3：\( -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
化简：\(32 = 2 \cdot 16\)，\(50 = 2 \cdot 25\)，\(200 = 2 \cdot 100\)。
\[ -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]练习 4：\( -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
\[ -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} = \sqrt{7}\left(-\frac{2}{3} + \frac{9}{5}\right) = \frac{17}{15}\sqrt{7} \]
练习 5：\( 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
\[ 2|x|\sqrt{3} - 5(2|x|\sqrt{3}) = -8|x|\sqrt{3} \]
练习 6：\( (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)
\[ (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2 = (-26\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]