根式的加减运算习题与解答
本文提供十年级关于含有根式的表达式加减法的习题及其解答。
定义
如果两个根式具有相同的根指数和相同的被开方数，则称它们是同类根式。
示例
\[ 1) \; 6 \sqrt[3]{5} \quad \text{和} \quad -5 \sqrt[3]{5} \]
是同类根式，因为它们具有相同的根指数（根号上的数字，此处为3）和相同的被开方数（根号内的数字，此处为5）。
\[ 2)\; 7 \sqrt[3]{8} \quad \text{和} \quad -5 \sqrt[3]{9} \]
不是同类根式，因为它们的被开方数8和9不同。
\[ 3)\; 3 \sqrt{2x} \quad \text{和} \quad -5 \sqrt{2x} \]
是同类根式，因为它们具有相同的根指数（2，表示平方根）和相同的被开方数 \(2 x \)。
同类根式的加减法
只有同类根式才能进行加减运算。
例题
简化以下表达式
\[ 1)\; 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \]
\[2)\; 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \]
\[3)\; -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \]
\[4)\; -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \]
上述例题的解答
上述表达式通过先提取公因式（即同类根式），然后进行加减运算来简化。
\[ 1)\; 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5}
= \sqrt[3]{5}(4+7)
= 11\sqrt[3]{5} \]
\[2)\; 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13}
= \sqrt{13}(9-11)
= -2\sqrt{13} \]
\[3)\; -8\sqrt[4]{2x+1} + 6\sqrt[4]{2x+1}
= \sqrt[4]{2x+1}(-8+6)
= -2\sqrt[4]{2x+1} \]
\[4)\; -\sqrt{2xy} - 4\sqrt{2xy} + 23\sqrt{2xy}
= \sqrt{2xy}(-1-4+23)
= 18\sqrt{2xy} \]
更多例题
简化以下表达式
\[ 1) \; 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \]
\[ 2) \; 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} \]
\[ 3) \; -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \]
\[ 4) \; -\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} \]
\[ 5) \; \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \]
上述例题的解答
上述表达式通过先将非同类根式转化为同类根式，然后进行加减运算来简化。
1) \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} \)
\[
= 4\sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} - 6\sqrt{2}
\]
\[
= 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2}
\]
2) \( 5\sqrt[3]{81} - 6\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{27 \cdot 3} - 6\sqrt[3]{3} \)
\[
= 5\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3}
\]
\[
= 5 \cdot 3\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3}
\]
\[
= 15\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{3} = 9\sqrt[3]{3}
\]
3) \(
-4\sqrt{12} + 12\sqrt{108}
\)
当不易从两个不同的被开方数直接得到相同的被开方数时，将它们分解为质因数。将12和108分解质因数如下：
\[
12 = 2^2 \cdot 3 \quad \text{且} \quad 108 = 2^2 \cdot 3^3
\]
我们现在用它们的质因数代替12和108，并进行简化：
\[
-4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} = -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^3}
\]
\[
= -4 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^3}
\]
\[
= -4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + 12 \cdot 2 \cdot \sqrt{3^2 \cdot 3}
\]
\[
= -8\sqrt{3} + 24 \cdot 3\sqrt{3}
\]
\[
= -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3}
\]
4)
\(
-\sqrt{20x} - 4\sqrt{45x} = -\sqrt{2^2 \cdot 5x} - 4\sqrt{3^2 \cdot 5x}
\)
\[
= -2\sqrt{5x} - 4 \cdot 3\sqrt{5x} = -2\sqrt{5x} - 12\sqrt{5x} = -14\sqrt{5x}
\]
5)
\(
\sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{2^4(x+1)}
\)
\[
= \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1}
\]
习题与解答
简化以下表达式
- \( \quad
-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20
\)
- \( \quad
20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7
\)
- \( \quad
-\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200}
\)
- \( \quad
2\sqrt{4x}-3\sqrt{x}
\)
- \( \quad
-\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}}
\)
- \( \quad
6. 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2}
\)
- \( \quad
2\sqrt[3]{40x^3}-5x\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{135x^3}
\)
- \( \quad
(7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2
\)
上述习题的解答
-
\[
-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20
\]
-
\[
20\sqrt{7} - 2\sqrt{28} - 7 = 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7
\]
\[
= 20\sqrt{7} - 2 \cdot 2\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7
\]
- 给定表达式 \(-\sqrt{32} - 2\sqrt{50} + 3\sqrt{200}\) 中的三个被开方数不同，但注意到32、50和200可以写成2乘以一个完全平方数，如下所示：\(32 = 2 \cdot 16\)，\(50 = 2 \cdot 25\)，\(200 = 2 \cdot 100\)。代入给定表达式并简化。
\[
-\sqrt{32} - 2\sqrt{50} + 3\sqrt{200} = -\sqrt{2 \cdot 16} - 2\sqrt{2 \cdot 25} + 3\sqrt{2 \cdot 100}
\]
\[
= -4\sqrt{2} - 2 \cdot 5\sqrt{2} + 3 \cdot 10\sqrt{2}
\]
\[
= -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2}
\]
-
\[
2\sqrt{4x} - 3\sqrt{x} = 2 \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{x} - 3\sqrt{x}
\]
\[
= 2 \cdot 2\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = 4\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}
\]
-
\[
-\sqrt{\frac{28}{9}} + 3\sqrt{\frac{63}{25}} = -\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{9}} + 3\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{25}}
\]
将28和63分解质因数如下：\( 28=2^2 \cdot 7 \), \( 63=3^2 \cdot 7 \) 并代入给定表达式进行简化
\[
= -\frac{\sqrt{2^2 \cdot 7}}{3} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3^2 \cdot 7}}{5} = -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5}
\]
提取公因式 \(\sqrt{7}\) 并简化
\[
= \sqrt{7} \left( -\frac{2}{3} + \frac{9}{5} \right) = \sqrt{7} \left( \frac{-10}{15} + \frac{27}{15} \right) = \sqrt{7} \cdot \frac{17}{15} = \frac{17}{15} \sqrt{7}
\]
-
\[
2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{12x^2} = 2\sqrt{3x^2} - 5\sqrt{4 \cdot 3x^2}
\]
\[
= 2\sqrt{3} \cdot |x| - 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot |x| = 2|x|\sqrt{3} - 10|x|\sqrt{3} = -8|x|\sqrt{3}
\]
-
\[
2\sqrt[3]{40x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{135x^3} = 2\sqrt[3]{8 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{27 \cdot 5x^3}
\]
\[
= 2\sqrt[3]{2^3 \cdot 5x^3} - 5x\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{3^3 \cdot 5x^3}
\]
\[
= 2 \cdot 2x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 4x\sqrt[3]{5} - 5x\sqrt[3]{5} + 3x\sqrt[3]{5} = 2x\sqrt[3]{5}
\]
-
\[
(7\sqrt{3x} - 11\sqrt{27x})^2 = (7\sqrt{3x} - 11\sqrt{9 \cdot 3x})^2
\]
\[
= (7\sqrt{3x} - 11 \cdot 3\sqrt{3x})^2 = (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2
\]
\[
= (-26\sqrt{3x})^2 = (-26)^2 \cdot (\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x
\]
更多参考资料和链接