根式乘法：高一（10年级）练习题与解答

以下是关于如何相乘含有根式表达式的高一（10年级）练习题。尝试解答每个表达式，然后点击查看分步解答。

同指数根式的乘积（乘法）

具有相同根指数的根式乘法公式如下：

$${\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}}$$

示例

通过阅读以下示例，了解如何应用乘积法则：

  1. $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$
  2. $\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$
  3. $\sqrt[4]{\frac{1}{12}} \cdot \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{\frac{1}{12} \cdot 3 \cdot 64} = \sqrt[4]{16} = 2$
  4. $3\sqrt[10]{x^3} \cdot 5\sqrt[10]{x^5} \cdot \sqrt[10]{x^2} = (3 \cdot 5) \sqrt[10]{x^3 \cdot x^5 \cdot x^2} = 15 \sqrt[10]{x^{10}} = 15|x| = 15x$（假设 $x \geq 0$）

练习题与答案

利用乘法公式化简下列表达式：

第 1 题

化简：$4\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{32}$

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$$4\sqrt{2} \cdot 7\sqrt{32} = (4 \cdot 7)\sqrt{2 \cdot 32}$$

$$= 28\sqrt{64} = 28 \cdot 8 = 224$$

第 2 题

化简：$6\sqrt{x} \cdot \frac{2}{3}\sqrt{x}$

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$$6\sqrt{x} \cdot \frac{2}{3}\sqrt{x} = \left(6 \cdot \frac{2}{3}\right)\sqrt{x \cdot x}$$

$$= 4\sqrt{x^2} = 4|x| = 4x \quad (\text{假设 } x \geq 0)$$

第 3 题

化简：$2\sqrt[3]{\frac{1}{32}} \cdot \sqrt[3]{128} \cdot \sqrt[3]{16}$

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$$2\sqrt[3]{\frac{1}{32}} \cdot \sqrt[3]{128} \cdot \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{\frac{1}{32} \cdot 128 \cdot 16}$$

$$= 2\sqrt[3]{64} = 2 \cdot 4 = 8$$

第 4 题

化简：$-8\sqrt[5]{x^2} \cdot 2\sqrt[5]{x^3}$

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$$-8\sqrt[5]{x^2} \cdot 2\sqrt[5]{x^3} = (-8 \cdot 2)\sqrt[5]{x^2 \cdot x^3}$$

$$= -16\sqrt[5]{x^5} = -16x$$

第 5 题

化简：$\sqrt{(x-3)} \cdot \sqrt{(x-3)}$

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$$\sqrt{(x-3)} \cdot \sqrt{(x-3)} = \sqrt{(x-3)(x-3)} = \sqrt{(x-3)^2}$$

$$= |x-3| = x-3$$

（注：因为 $\sqrt{(x-3)}$ 是实数，所以 $(x-3) \geq 0$，这使我们可以直接将绝对值 $|x-3|$ 化简为 $x-3$。）

第 6 题

化简：$\sqrt[8]{x} \cdot 5\sqrt[8]{x^4} \cdot 2\sqrt[8]{x^3}$

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$$\sqrt[8]{x} \cdot 5\sqrt[8]{x^4} \cdot 2\sqrt[8]{x^3} = (1 \cdot 5 \cdot 2)\sqrt[8]{x \cdot x^4 \cdot x^3}$$

$$= 10\sqrt[8]{x^8} = 10|x| = 10x \quad (\text{假设 } x \geq 0)$$

更多参考与链接