高一（10年级）数学问题与解答

a) 最大高度出现在抛物线的顶点处：
$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{秒}$$

b) 将 $t = 1.5$ 代入方程求得最大高度：
$$h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{米}$$

c) 令 $h(t) = 0$：
$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
因式分解：
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{或}\ t = -1$$
时间不能为负，因此球在抛出 $4$ 秒后落地。

a) 设 $d$ 是一角硬币的数量，$q$ 是二十五美分硬币的数量。
硬币总数是 30：
$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
一角硬币价值 10 美分，二十五美分硬币价值 25 美分，因此：
$$0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)}$$

b) 由方程 (1) 得：$d = 30 - q$
代入方程 (2)：
$$0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10$$
展开并简化：
$$3 - 0.10q + 0.25q = 5.10$$
$$0.15q = 2.10$$
$$q = 14$$
随后得出 $d = 16$。
你有 16 枚一角硬币和 14 枚二十五美分硬币。

a) 半径是圆心到圆上任意一点的距离，因此使用距离公式通过圆心 $(3,-2)$ 和点 $(6,2)$ 来求半径 $r$：
$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

b) 圆的方程为：
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

将所有表达式因式分解：
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$

现在代入给定表达式中：
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$

约去公因式 $(x - 3)$ 和 $(x + 3)$ 得到：
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$

当我们如上所述约去公因式时，实际上是在除以公因式。我们不能除以零，因此必须施加所约去的公因式不能为零的条件：
$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$
$$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$

给定表达式化简为：
$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{其中 } x \neq 3,\ -3$$

两边平方：
$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$
$$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$

整理移项：
$$0 = x^2 - 4x - 2$$

使用求根公式：
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$

检验增根：

尝试 $x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45$：
左边 = $\sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45$
右边 = $4.45 - 1 = 3.45$（有效）

尝试 $x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45$：
左边 = $\sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$
右边 = $-0.45 - 1 = -1.45$（无效）

解 $x = 2 + \sqrt{6}$ 验证了给定方程的两边，但 $x = 2 - \sqrt{6}$ 没有通过验证，因此是一个增根。

给定方程的解为：$$x = 2 + \sqrt{6}$$

求 $AB$ 和 $CD$ 的斜率：
$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$

求 $BC$ 和 $AD$ 的斜率：
$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
$$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

由于两组对边分别平行，因此 ABCD 是平行四边形。

首先，将 625 表示为 5 的幂：
$$625 = 5^4$$

利用指数法则写出：
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$

重写方程：
$$5^{2x - 1} = 5^4$$

从而得到代数方程：
$$2x - 1 = 4$$

求解 $x$：
$$x = \frac{5}{2}$$

使用余弦定理：
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$
$$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$
$$c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5)$$
$$c^2 = 149 + 70 = 219$$
$$c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{厘米}$$

将 $x = 4$、$f(x) = 15$ 代入方程：
$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$

求解 $a$：
$$15 = a(2)^2 + 3$$
$$a = 3$$

函数 $f(x)$ 是由下式给出的二次函数：
$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$

由顶点式 $a(x - h)^2 + k$ 可知，顶点为 $(h, k) = (2, 3)$。

a) 设 $h$ 是塔的高度。在直角三角形中使用正切公式：
$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
求解 $h$：
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{米}$$

b) 无人机的高度：$31.2 + 30 = 61.2$
设 $\theta$ 为到无人机的仰角：
$$\tan(\theta) = \frac{61.2}{50}$$
$$\theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.8^\circ$$

设：
$S$ 为船在静水中的速度（单位：公里/小时），
$r$ 为河流流速（单位：公里/小时），
$d$ 为 A 点和 B 点之间的距离（单位：公里）。

根据已知条件：顺流：
$$d = 3(S + r)$$
逆流：
$$d = 5(S - r)$$

令两个表示 $d$ 的表达式相等：
$$3(S + r) = 5(S - r)$$

展开两边：
$$3S + 3r = 5S - 5r$$

将含 $r$ 的项移到一边，含 $S$ 的项移到另一边：
$$8r = 2S$$

求解 $r$：
$$r = \frac{S}{4}$$

现在将 $r = \frac{S}{4}$ 代回顺流方程中：
$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$

现在，在静水中（无水流），速度仅为 $S$。在静水中从 A 到 B 行驶的时间：
$$\text{时间} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{ 小时}$$

因此，船在静水中从 A 到 B 所需的时间是 $3 \text{ 小时 } 45 \text{ 分钟}$。

展开函数：
$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$

这是一个形如 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，其中 $a = -3, \, b = 42$。

函数在顶点处达到最大值，其 x 坐标由下式给出：
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$

要寻找最大值，将 $x = 7$ 代回函数中：
$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$

该函数在 $x = 7$ 时取得最大值，$f(x)$ 的最大值为 $f(7) = 27$。

设 $n$ 为分数低于 60 分的学生人数，$N$ 为分数在 60 分或以上的学生人数。

分数低于 60 分的学生的平均分为：
$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$

分数在 60 分或以上的学生的平均分为：
$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$

全班总体平均分为 70 分：
$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$

代入：
$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$

两边同乘以 20 并简化：
$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$

我们还有：
$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$

将 $N$ 代入方程 (1)：
$$50n + 75(20 - n) = 1400$$

展开并简化：
$$-25n + 1500 = 1400$$

求解 $n$：
$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$

有 $n = 4$ 名学生的分数低于 60 分。

设 $h$ 为梯形的高。
$$\text{面积} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{上底} + \text{下底}) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$

求解 $h$：
$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$

对左侧直角三角形应用勾股定理（斜边为 $L$）：
$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$

对右侧直角三角形应用勾股定理（斜边为 $R$）：
$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$

梯形的周长为：
$$\text{周长} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68 \text{ 单位}$$

设长为 $L$ 米，宽为 $W$ 米，且 $L > W$。

利用面积写出：
$$L \times W = 300$$

利用周长写出：
$$2L + 2W = 70$$

所有项同除以 2：
$$L + W = 35$$

求解 $L$：
$$L = 35 - W$$

代入面积方程中：
$$(35 - W) \cdot W = 300$$

展开并整理为标准二次型：
$$35W - W^2 = 300$$
$$W^2 - 35W + 300 = 0$$

使用求根公式求解：
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$

$$W = 20 \text{ 或 } W = 15$$

当 $W = 15$ 时，$L = 35 - 15 = 20$。
当 $W = 20$ 时，$L = 35 - 20 = 15$。

由于 $L > W$，该矩形的尺寸为 $L = 20$ 且 $W = 15$。

电动机的速度为 $3000$ 转/分钟。
1 转等于 $360^\circ$
1 分钟等于 $60$ 秒

使用量纲分析：
$$\frac{3000 \, \text{转}}{1 \, \text{分}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{转}} \times \frac{1 \, \text{分}}{60 \, \text{秒}}$$

约去单位得到每秒度数：
$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1,080,000}{60} = 18,000^\circ \, \text{每秒}$$

设 $x$ 为房屋的售价。
$$x \text{ 的 } 6\% = 8,880$$
$$0.06x = 8,880$$

求解 $x$：
$$x = \frac{8,880}{0.06}$$
$$x = 148,000$$

房屋的售价是 $\$148,000$。

已知：
转速：$400 \, \text{转/分}$
线速度：$72 \, \text{公里/小时} = 72,000 \, \text{米/小时}$

首先，将每分钟转数转换为每小时转数：
$$400 \, \dfrac{\text{转}}{\text{分}} \times 60 \, \dfrac{\text{分}}{\text{时}} = 24,000 \, \dfrac{\text{转}}{\text{时}}$$

设 $C$ 为轮胎的周长（单位：米）。一小时内行驶的总距离等于每小时转数乘以周长：
$$24,000 \cdot C = 72,000$$

求解 $C$：
$$C = \frac{72,000}{24,000} = 3 \, \text{米}$$

设 $x$ 为一件衬衫的成本，$y$ 为一条裤子的成本，$z$ 为一顶帽子的成本。已知：
(1) $4x + 4y + 2z = 560$
(2) $9x + 9y + 6z = 1290$

将方程 (2) 除以 3：
(3) $3x + 3y + 2z = 430$

现在用方程 (3) 减去方程 (1)：
$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$
$$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$

将方程 (4) 代入方程 (3)：
$$3(x + y) + 2z = 430$$
$$3(130) + 2z = 430$$
$$390 + 2z = 430$$
$$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$

现在代回以求出 1 件衬衫、1 条裤子和 1 顶帽子的总成本：
$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$

总成本是 $\$150$。

设 $x$ 表示玩具的总数。
第一个孩子拥有 $\frac{x}{10}$ 个玩具。
第二个孩子拥有 $\frac{x}{10} + 12$ 个玩具。
第三个孩子拥有 $\frac{x}{10} + 1$ 个玩具。
第四个孩子拥有 $2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)$ 个玩具。

我们建立玩具总数的方程：
$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$

展开：
$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$

合并同类项：
$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$
$$\frac{x}{2} + 15 = x$$

两边减去 $\frac{x}{2}$：
$$15 = \frac{x}{2}$$

求解 $x$：
$$x = 30$$

因此，玩具的总数是 $30$。

首先，我们将乘积中的每一项写成一个分数：
$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$

现在，观察链式约分规律。每个分数的分子与前一个分数的分母相互约分，仅留下第一个分子和最后一个分母：

$$\frac{9}{100}$$