高一数学精选题集（含详细解析）

a) 最高点对应抛物线顶点： \[ t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{秒} \] b) 将\( t = 1.5 \)代入方程求最大高度： \[ h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{米} \] c) 令\( h(t) = 0 \)： \[ -5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0 \] 因式分解： \[ (t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{或}\ t = -1 \] 时间取正值，故小球在抛出\( 4 \)秒后落地。

a) 设：

\( d \)：1角硬币数量，\( q \)：2角5分硬币数量

硬币总数方程为： \[ d + q = 30 \quad \text{(1)} \] 价值方程（单位：元）： \[ 0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)} \] b) 由方程(1)得：\( d = 30 - q \)

代入方程(2)： \[ 0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10 \] 展开化简： \[ 3 - 0.10q + 0.25q = 5.10 \] \[ 0.15q = 2.10 \] \[ q = 14 \] 则\( d = 16 \)

共有\( 16 \)枚1角硬币，\( 14 \)枚2角5分硬币。

a) 半径即圆心到圆上任意点的距离，运用距离公式求圆心\( (3,-2) \)与点\( (6,2) \)的距离： \[ r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] b) 圆的标准方程为： \[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]

**分解因式** \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\] \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] 代入原式： \[ \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} \] 约去公因式\( x - 3 \)和\( x + 3 \)得： \[ \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2} \] 约分时需确保分母不为零，故添加限制条件： \[ x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \] \[ x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne - 3 \] 最终结果为： \[ \frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{其中 } x \ne -3,\ 3 \]

两边平方： \[ (\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2 \Rightarrow 2x + 3 = x^2 - 2x + 1 \] 整理得： \[ 0 = x^2 - 4x - 2 \] 求根公式： \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} \] \[ = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6} \] 验根：

试\( x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45 \)：

左边 = \( \sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45 \)

右边 = \( 4.45 - 1 = 3.45 \)

试\( x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45 \)：

左边 = \( \sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45 \)

右边 = \( -0.45 - 1 = -1.45 \)

\( x = 2 + \sqrt{6} \)满足原方程，\( x = 2 - \sqrt{6} \)为增根。

最终解为： \[ x = 2 + \sqrt{6} \]

求\( AB \)与\( CD \)斜率： \[ m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1 \] 求\( BC \)与\( AD \)斜率： \[ m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5 \] \[ m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \] 两组对边分别平行，故ABCD为平行四边形

将625化为5的幂： \[ 625 = 5^4 \] 指数运算法则： \[ \dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1} \] 方程化为： \[ 5^{2x - 1} = 5^4 \] 得代数方程： \[ 2x - 1 = 4 \] 解得： \[ x = \frac{5}{2} \]

余弦定理： \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \] \[ c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ) \] \[ c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5) \] \[ c^2 = 149 + 70 = 219 \] \[ c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{cm} \] 故： \[ c \approx 14.8 \ \text{cm} \]

将\( x = 4 \), \( f(x) = 15 \)代入： \[ 15 = a(4 - 2)^2 + 3 \] 解\( a \)： \[ 15 = a(2)^2 + 3 \] \[ a = 3 \] 函数表达式为： \[ f(x) = 3(x - 2)^2 + 3 \] 由顶点式\( a(x - h)^2 + k \)得顶点坐标： \[ (h, k) = (2, 3) \]

a) 设塔高为\( h \)，直角三角形正切公式： \[ \tan(32^\circ) = \frac{\text{h}}{50} \] 解得： \[ h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{米} \] b) 无人机高度： \[ 31.2 + 30 = 61.2 \] 设对无人机仰角为\( \theta \)： \[ \tan(\theta) = \frac{61.2}{50} \] 故： \[ \theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.2^\circ \]

设：

\( S \)为静水船速（km/h），

\( r \)为水流速度（km/h），

\( d \)为AB间距（km）。

已知：顺流： \[ d = 3(S + r) \] 逆流： \[ d = 5(S - r) \] 联立得： \[ 3(S + r) = 5(S - r) \] 展开： \[ 3S + 3r = 5S - 5r \] 移项： \[ 8 r = 2 s \] 解得： \[ r = \frac{S}{4} \] 代回顺流方程： \[ d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4} \] 静水航行时间： \[ \text{时间} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75 \text{小时} \] 即： \[ 3 \text{小时} 45 \text{分钟} \]

展开函数： \[ f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120 \] 此为二次函数： \[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad \text{其中 } a = -3, \, b = 42 \] 最大值出现在顶点处，横坐标为： \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7 \] 求最大值，代入\( x = 7 \)： \[ f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27 \] 函数在\( x = 7 \)处取得最大值\( 27 \)。

设 \( n \)为60分以下人数， \( N \)为60分及以上人数。

60分以下学生总分： \[ \frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50 n \] 60分及以上学生总分： \[ \frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75 N \] 全班平均分方程： \[ \frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70 \] 代入： \[ \frac{50n + 75N}{20} = 70 \] 两边乘\( 20 \)： \[ 50n + 75N = 1400 \quad (1) \] 又： \[ n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n \] 代入方程(1)： \[ 50n + 75(20 - n) = 1400 \] 展开： \[ -25n + 1500 = 1400 \] 解得： \[ n = 4 \] 60分以下学生为\( 4 \)人。

设\( h \)为梯形高。 \[ \text{面积} = \frac{1}{2} \cdot h (上底 + 下底) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270 \] 解得： \[ h = 20 \] 左直角三角形勾股定理（斜边\( L \)）： \[ 20^2 + 3^2 = L^2 \quad \Rightarrow \quad L = \sqrt{409} \] 右直角三角形勾股定理（斜边\( R \)）： \[ 20^2 + 4^2 = R^2 \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{416} \] 梯形周长： \[ \text{周长} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \; \text{单位} \]

设长为\( L \)米，宽为\( W \)米，且\( L \gt W \)。 面积方程： \[ L \times W = 300 \] 周长方程： \[ 2L + 2W = 70 \] 化简： \[ L + W = 35 \] 解得： \[ L = 35 - W \] 代入面积方程： \[ (35 - W) \cdot W = 300 \] 展开： \[ 35W - W^2 = 300 \] 整理： \[ W^2 - 35W + 300 = 0 \] 求根公式： \[ W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)} \] \[ = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ W = \frac{35 \pm 5}{2} \Rightarrow W = 20 \text{ 或 } W = 15 \] 取\( W = 15 \)时，\( L = 35 - 15 = 20 \)。

因\( L \gt W \)，故长为\( 20 \)米，宽为\( 15 \)米。

转速为\( 3000 \)转/分钟。

1转对应\( 360^\circ \)

1分钟合60秒

单位换算： \[ \dfrac{3000 \text{转}}{1 \text{分钟} } = \frac{3000 \, \text{转}}{1 \, \text{分钟}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{转}} \times \frac{1 \, \text{分钟}}{60 \, \text{秒}} \] 单位约简： \[ = \frac{3000 \times 360}{60} \\ = \frac{1,080,000}{60} \\ = 18,000^\circ \, \text{每秒} \] 电动机每秒旋转\( 18,000^\circ \)。

设房屋售价为\( x \)元。 \[ 6\% \times x = 8,880 \] \[ 0.06x = 8,880 \] 解得： \[ x = \frac{8,880}{0.06} \] \[ x = 148,000 \] 房屋售价为\( 148,000 \)元。

已知：

转速：\( 400 \, \text{转/分钟} \)

线速度：\( 72 \, \text{公里/小时} = 72,000 \, \text{米/小时} \)

先将转速转换为每小时转数： \[ 400 \, \dfrac{\text{转}}{\text{分钟}} \times 60 \, \dfrac{\text{分钟}}{\text{小时}} = 24{,}000 \, \dfrac{\text{转}}{\text{小时}} \] 设轮胎周长为\( C \)米。每小时行驶距离等于每小时转数乘周长： \[ 24,000 \cdot C = 72,000 \] 解得： \[ C = \frac{72,000}{24,000} = 3 \, \text{米} \]

设：\( x \)为衬衫单价，\( y \)为裤子单价，\( z \)为帽子单价 已知： \[ \begin{aligned} \text{(1)} &\quad 4x + 4y + 2z = 560 \\ \text{(2)} &\quad 9x + 9y + 6z = 1290 \end{aligned} \] 方程(2)除以3： \[ \text{(3)} \quad 3x + 3y + 2z = 430 \] (3)减(1)： \[ (3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560 \] \[ - x - y = -130 \quad \Rightarrow \quad x + y = 130 \quad \text{(4)} \] (4)代入(3)： \[ 3(x + y) + 2z = 430 \] \[ 3(130) + 2z = 430 \] \[ 390 + 2z = 430 \] \[ 2z = 40 \quad \Rightarrow \quad z = 20 \] 求总价： \[ x + y + z = 130 + 20 = 150 \] 单套服装总价为\( 150 \)元。

设玩具总数为\( x \)。

第一个孩子：\( \frac{x}{10} \)个

第二个孩子：\( \frac{x}{10} + 12 \)个

第三个孩子：\( \frac{x}{10} + 1 \)个

第四个孩子：\( 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) \)个

总数方程： \[ \frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x \] 展开： \[ \frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2 x}{10} + 2 = x \] 合并： \[ \frac{6x}{10} + 15 = x \] 乘以10： \[ 5x + 150 = 10x \] 移项： \[ 150 = 5 x \] 解得： \[ x = \frac{150}{5} = 30 \] 玩具总数为\( 30 \)个。

将各项写成分数形式： \[ \left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right) \] 即： \[ \left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right) \] 观察约分规律，前后项相消后得： \[ \frac{9}{100} \] 故结果为： \[ \frac{9}{100} \]