详细公式、定义与分步解答
数列是有序的数字列表。等差数列具有公差，而等比数列具有公比。级数是数列各项的和。
公差 (d)： \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
第 n 项：
\[ a_n = a + (n-1)d \]\( n \) 项的和 (\( S_n \))：
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]公比 (r)： \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
第 n 项：
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]\( n \) 项的和 (\( S_n \))：
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]无穷等比级数仅当公比满足 \( |r| < 1 \) 时才具有有限的和（收敛）。如果 \( |r| \ge 1 \)，则该级数发散且没有和。
无穷和 (\( S_{\infty} \))：
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]第 1 题（等差）：求等差数列 \( 10, 6, 2, -2, \dots \) 的第 15 项。
确定首项 \( a = 10 \) 且公差 \( d = 6 - 10 = -4 \)。
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]第 2 题（等比）：求等比数列 \( 5, 10, 20, 40, \dots \) 的第 8 项。
确定 \( a = 5 \) 且 \( r = 10/5 = 2 \)。求解 \( a_8 \)：
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]第 3 题（挑战）：在等差数列中，\( a_3 = 13 \) 且 \( a_9 = 37 \)。求首项 \( a \) 和公差 \( d \)。
利用 \( a_n = a + (n-1)d \) 建立两个方程：
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
由 (2) 减去 (1)：\( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \)。
将 \( d=4 \) 代入 (1)：\( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \)。
第 4 题（等差求和）：求前 50 个正偶数的和。
该数列为 \( 2, 4, 6, \dots \)，因此 \( a = 2 \)，\( d = 2 \)，且 \( n = 50 \)。
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]第 5 题（等比求和）：求等比级数前 6 项的和：\( 3, -6, 12, -24, \dots \)
确定 \( a = 3 \)，\( r = -2 \)，且 \( n = 6 \)：
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]第 6 题（挑战）：求所有是 7 的倍数的三位数的和。
第一个倍数 \( a = 105 \)。最后一个倍数 \( a_n = 994 \)。公差 \( d = 7 \)。
求 \( n \)：\( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \)。
求和： \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
第 7 题：求无穷级数的和：\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)
确定 \( a = 1 \) 且 \( r = 0.5 \)。由于 \( |0.5| < 1 \)，该级数收敛：
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2 \]第 8 题：一个无穷等比级数的和为 20，首项为 5。求公比 \( r \)。