平方根函数的定义域
如何求平方根函数的定义域？本文提供多个示例，包含详细解答和解释，并通过图示说明定义域的含义。
求平方根函数的定义域
我们首先需要理解 \( \sqrt x \) 仅在根号 \( \sqrt{} \) 下的参数 \( x \) 满足条件 \( x \ge 0 \) 时才有实数解。通过观察下图 \( y = \sqrt x \) 的图像可以轻松验证：该图像仅存在于 \( x \ge 0 \) 的区间。
示例与解答
示例 1
求函数 \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \] 的定义域。
解
函数 \( f(x) = \sqrt{x - 2} \) 在根号 \( \sqrt{} \) 下的参数 \( x - 2 \) 满足条件 \( x - 2 \ge 0 \) 时取实数值。该不等式的解为
\[ x \ge 2 \]
此即函数的定义域，可通过下图验证：函数 \( f\) 的图像仅存在于 \( x \ge 2 \) 的区间。
示例 2
求函数 \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \] 的定义域。
解
函数 \( f(x) = \sqrt{|x - 1|} \) 在根号 \( \sqrt{} \) 下的参数 \( |x - 1| \) 满足条件 \( |x - 1| \ge 0 \) 时取实数值。该不等式的解为
全体实数，因为绝对值表达式 \( |x - 1| \) 始终非负（当 \( x = 1 \) 时为零）。
函数的定义域为实数集 \( \mathbb{R} \)，可通过下图验证：函数 \( f\) 的图像对所有 \( x \) 值均存在。
示例 3
求函数 \[ f(x) = \dfrac{1}{ \sqrt{x + 3}} \] 的定义域。
解
考虑到该函数是两个函数的商，且分母不能为零，给定函数在根号 \( \sqrt{} \) 下的参数 \( x + 3 \) 满足条件 \( x + 3 \gt 0 \) 时取实数值。注意此处使用不等式符号 \( \gt \) 而非 \( \ge \)，因为分母不能为零。不等式的解为
\[ x \gt - 3 \]
函数的定义域为大于 -3 的实数集，可通过下图验证：函数 \( f\) 的图像在 \( x > - 3\) 时存在。
示例 4
求函数 \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{ \sqrt{x - 2}} \] 的定义域。
解
给定函数在满足以下两个条件时取实数值：
1) \( x + 4 \ge 0 \) —— 分子允许为零，故使用不等式符号 \( \ge \)。
与
2) \( x - 2 \gt 0 \) —— 分母不允许为零，故使用不等式符号 \( \gt \)。
函数的定义域为上述两个不等式解集的交集。
\[ x \ge - 4 \quad \text{且} \quad x \gt 2 \]
两个解集的交集为：
\[ x \gt 2 \]
此即给定函数的定义域，如下图所示。
示例 5
求函数 \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{ {x - 2}}} \) 的定义域。
解
给定函数在满足以下条件时取实数值：
\[ \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \ge 0 \]
需解上述不等式。分子与分母的零点分别为：
\[ x = - 4 \quad \text{与} \quad x = 2 \]
这些零点将数轴划分为三个区间，每个区间内不等式的符号相同。区间分别为：
\[ (-\infty , -4) \; , \; (-4 , 2 ) \; , \; (2 , \infty) \]
在每个区间内选取测试值，代入表达式 \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) 以确定符号：
1) 在区间 \( (-\infty , -4) \) 内，选取 \( x = -6 \) 代入：
\[ \dfrac{ -6 + 4}{ {-6 - 2}} \gt 0 \]
2) 在区间 \( (-4 , 2) \) 内，选取 \( x = 0 \) 代入：
\[ \dfrac{ 0 + 4}{ {0 - 2}} \lt 0 \]
3) 在区间 \( (2 , \infty) \) 内，选取 x = 3 代入：
\[ \dfrac{ 3 + 4}{ {3 - 2}} \gt 0 \]
因此，定义域为满足 \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \gt 0 \) 的所有区间的并集：
\[ (-\infty , -4] \cup (2 , \infty) \]
函数 \( f \) 的图像如下所示，可轻松验证上述定义域。注意 \( x = 2 \) 不在定义域内，因为分母不能为零。
示例 6
求函数 \[ f(x) = \sqrt{-x^2-4} \] 的定义域。
解
给定函数在满足以下条件时取实数值：
\[ -x^2 - 4 \ge 0 \]
表达式 \( x^2 + 4 \) 是一个平方数与正数的和，因此：
\[ x^2 + 4 \ge 0 \]
将不等式各项乘以 -1 并反转不等号方向：
\[ - x^2 - 4 \le 0 \]
因此，给定函数的定义域为空集，该函数无图像。可尝试用图形计算器绘制验证。
示例 7
求函数 \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{ \sqrt{x - 2}} \] 的定义域。
解
给定函数在满足以下两个条件时取实数值：
1) \( 6 - x \ge 0 \) —— 分子允许为零，故使用不等式符号 \( \ge \)。
与
2) \( x - 2 \gt 0 \) —— 分母不允许为零，故使用不等式符号 \( \gt \)。
函数的定义域为上述两个不等式解集的交集：
\[ x \le 6 \quad \text{且} \quad x \gt 2 \]
两个解集的交集为区间：
\[ (2 , 6] \]
函数 \( f \) 的图像如下所示，可轻松验证上述定义域。注意 \( x = 2 \) 不在定义域内，因为分母不能为零。
示例 8
求函数 \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \] 的定义域。
解
给定函数在满足以下条件时取实数值：
\[ x^2 - 4 \ge 0\] 亦可写作 \[ (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
该二次不等式的解集为区间：
\[ (-\infty , -2] \cup [2 , \infty) \]
函数 \( f \) 的图像如下所示，可轻松验证上述定义域。
示例 9
求函数 \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \) 的定义域。
解
给定函数在满足以下条件时取实数值：
\[ 4 - x^2 \ge 0\] 亦可写作 \[ (2 - x)(2 + x) \ge 0\]
该二次不等式的解集为区间：
\[ [-2 , 2] \]
函数 \( f \) 的图像如下所示，可轻松验证上述定义域。
更多参考资料与链接
作者 -
电子邮件
首页