核心概念
函数 $y = \sqrt{x}$ 仅在 $x \ge 0$ 时存在。如下图所示，当 $x$ 为负数时，该函数没有实数值。
分步指南、图象解释与已解答示例
平方根函数 $f(x) = \sqrt{g(x)}$ 的定义域是指使表达式 $g(x)$ 为非负数（$g(x) \ge 0$）的所有实数 $x$ 的集合。这确保了输出值保持为实数。
函数 $y = \sqrt{x}$ 仅在 $x \ge 0$ 时存在。如下图所示，当 $x$ 为负数时，该函数没有实数值。
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
如果根号下的量满足以下条件，则函数取实数值：
\[ x - 2 \ge 0 \]解此不等式得：
\[ x \ge 2 \]图象检查：图象仅在 $x$ 大于或等于 2 时“存在”。
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
取得实数值的条件是：
\[ |x - 1| \ge 0 \]因为对于所有实数，绝对值表达式总是大于或等于零，所以该条件对任何 $x$ 都成立。
定义域：所有实数 $\mathbb{R}$，或 $(-\infty, \infty)$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
由于不能除以零，被开方数必须严格大于零：
\[ x + 3 > 0 \]求解得：
\[ x > -3 \]图象检查：图象从 $x = -3$ 之后开始并向右延伸。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
必须同时满足两个条件：
定义域是这两个集合的交集：
\[ x > 2 \]
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
条件： \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
临界点为 $x = -4$ 和 $x = 2$。测试区间：
定义域：$(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$。（注意：由于分母原因，排除了 $x=2$）。
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
条件： \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
对于任何实数 $x$，$-x^2 - 4$ 总是小于 0，因此它永远不可能大于或等于 0。
定义域：空集（无实数解）。
求函数的定义域： \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
条件：
交集：$2 < x \le 6$。用区间表示法：$(2, 6]$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
条件： \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
当 $x$ 处于根 $-2$ 和 $2$ 的外部时，此不等式成立。
定义域：$(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$。
求函数的定义域： \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
条件： \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
当 $x$ 位于根 $-2$ 和 $2$ 之间时，此不等式成立。
定义域：$[-2, 2]$。
