1. 基本抛物线：\( f(x) = x^2 \)
在绘制变换图象之前，我们先分析母函数。我们使用值表来描绘关键点。
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0（顶点） |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
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二次函数是次数为 2 的多项式函数。它们的图象是抛物线。我们将探索基本函数 \( f(x) = x^2 \)、变换后的顶点式 \( f(x) = a(x - h)^2 + k \) 以及标准式 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)。
在绘制变换图象之前，我们先分析母函数。我们使用值表来描绘关键点。
| \( x \) | \( f(x) = x^2 \) |
|---|---|
| -3 | 9 |
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0（顶点） |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
顶点式允许我们立即识别抛物线的中心和方向：
1. 识别参数：\( a=4, h=1, k=-1 \)。顶点为 (1, -1)。
2. 截距：
y 轴截距：\( g(0) = 4(0-1)^2 - 1 = 3 \)。点：(0, 3)。
x 轴截距：解 \( 4(x-1)^2 - 1 = 0 \)。点：(0.5, 0) 和 (1.5, 0)。
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要绘制标准式图象，我们首先计算顶点坐标 \( (h, k) \)：
\[ h = -\frac{b}{2a} \quad \text{和} \quad k = f(h) \]求顶点、截距并草绘图象。
1. 顶点：
\( h = -3 / (2 \cdot -2) = 0.75 \)
\( k = p(0.75) = -2(0.75)^2 + 3(0.75) + 1 = 2.125 \)。顶点：(0.75, 2.13)。
2. 图象：由于 \( a = -2 \)，抛物线向下开口。
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