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展示了顶点形式 \( f(x) = a (x - h)^2 + k \) 和标准形式 \( f(x) = a x^2 + b x + c \) 的二次函数图像，并附有多个示例及其详细解答。
我们首先绘制基本二次函数 f(x) = x2 的图像，然后绘制顶点形式和标准形式的二次函数示例。
本网站还包含一个教程，讲解如何根据给定的图像求解二次函数。
二次函数是次数为 2（x 的平方）的多项式函数，"quadratic" 一词源自拉丁语 "quadratus"，意为正方形。
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我们首先注意到：
1) 实数的平方是正数或零，即 \( x^2 \ge 0 \)，因此函数 f 的图像在 \( x = 0 \) 处与 x 轴相切，并在其他所有 \( x \) 值处位于 x 轴上方。
2) \( f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \) ，因此函数 \( f \) 是偶函数，其图像关于 y 轴对称。
3) \( y = f(x) \) 的值域是：\( y \ge 0 \)
我们使用表格来求函数 \( f \) 图像上的点。 \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline x & f(x) = x^2 \\ \hline 0 & 0^2 = 0 \\ \hline -1 & (-1)^2 = 1 \\ \hline 1 & 1^2 = 1 \\ \hline -2 & (-2)^2 = 4 \\ \hline 2& 2^2 = 4 \\ \hline -3& (-3)^2 = 9 \\ \hline 3 & 3^2 = 9 \\ \hline \end{array} \]
现在我们绘制表格中的点，并将它们连接起来，得到 \( f(x) = x^2 \) 的图像，称为抛物线。
顶点形式的二次函数 \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) 是经过变换的基本二次函数 \( f(x) = x^2 \)。
1) 从 \( x^2 \) 到 \( (x - h)^2 \)：如果 \( h \) 为正，则向右平移 \( h \) 个单位；如果 \( h \) 为负，则向左平移 \( - h \) 个单位。
2) 从 \( (x - h)^2 \) 到 \( a(x - h)^2 \)：当 \( |a| \gt 1 \) 时进行垂直拉伸，当 \( |a| \lt 1 \) 时进行压缩，如果 \( a \) 为负，则额外关于 x 轴反射。
3) 从二次表达式 \( a(x - h)^2 \) 到 \( a(x - h)^2 + k \)：垂直平移 \( k \) 个单位。
1) 拥有一个位于 \( (h , k) \) 的顶点（最小值点或最大值点）。
2) 一条垂直对称轴 \( x = h \)。
3) \( g \) 的图像是一条抛物线：如果系数 a 为正，则开口向上，顶点是最小值点；如果 a 为负，则开口向下，顶点是最大值点。
4) \( y = g(x) \) 的值域为：如果 \( a \) 为正，则 \( y \ge k \)；如果 \( a \) 为负，则 \( y \le k \)。
a) 确定函数 \( g(x) = 4 (x - 1)^2 - 1 \) 图像的顶点、对称轴，并判断图像开口方向。
b) 求函数 g 的图像与坐标轴的交点（x 轴截距和 y 轴截距）。
c) 利用顶点、x 轴和 y 轴截距以及函数 \( g \) 图像上的一些其他点，绘制其图像。
d) \( y = g(x) \) 的值域是什么？
将 \( g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) 与 \( g(x) = a(x - h)^2 + k \) 比较，我们可以写出：\( h = 1 \), \( k = -1 \) 且 \( a = 4 \)。
顶点位于点 \( (h , k) = (1 , -1) \)。
对称轴是垂直线 \( x = h = 1 \)。
由于 \( a \) 为正，抛物线（函数 \( g \) 的图像）开口向上。
b)
y 轴截距是 y 轴上的一个点，因此该点的 \( x = 0 \)，其 y 坐标由 \( g(0) = 3 \) 给出。因此 y 轴截距位于 \( (0 , 3) \)。
x 轴截距是 x 轴上的点，因此该点的 \( y = g(x) = 0 \)，其 x 坐标通过解以下方程求得：
\[
g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 = 0
\]
\[
4(x - 1)^2 = 1
\]
\[
2(x - 1) = \pm \sqrt{1}
\]
\[
2(x - 1) = 1 \text{ 解得 } x = \frac{3}{2} = 1.5
\]
\[
2(x - 1) = -1 \text{ 解得 } x = \frac{1}{2} = 0.5
\]
两个 x 轴截距位于：\( (1/2 , 0) \) 和 \( (3/2 , 0) \)
c) 函数 \( g \) 图像上的另一个点。
\[
g(2) = 4(2 - 1)^2 - 1 = 3
\]
d) 由于 \( a = 4 \) 为正，\( y = g(x) = 4(x - 1)^2 - 1 \) 的值域由以下不等式给出：
\( y \geq k \) 或 \( y \geq -1 \)
或区间 \[ [-1, +\infty) \]
下图显示了图像，顶点在 \( (1,-1) \)，由于 \( a = 4 \) 为正，图像开口向上，故该顶点为最小值点。
其 x 轴截距位于 \( (1/2,0) \) 和 \( (3/2,0) \)，y 轴截距位于 \( (0,3) \)。
抛物线的对称轴是垂直线 \( x = 1 \)。
如图像所示，\( y \) 的值域是：\( y \geq -1 \)。
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求函数 \( h(x) = - (x + 1/2)^2 + 2 \) 图像的顶点、对称轴、y 轴截距、x 轴截距，并绘制其图像。\( y = h(x) \) 的值域是什么？
示例 3 解答将函数 \( h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \) 与标准形式 \( h(x) = a(x - h)^2 + k \) 比较，我们识别出：\( h = -\frac{1}{2} \), \( k = 2 \) 且 \( a = -1 \)。
顶点位于点 \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \)。
对称轴是垂直线 \( x = -\frac{1}{2} \)。
由于 \( a = -1 \) 为负，抛物线（函数 \( h \) 的图像）开口向下。
y 轴截距位于 \( (0, h(0)) = (0, 1.75) \)。
x 轴截距通过解以下方程求得：
\[ h(x) = -\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 = 0 \]解此方程，得到解为：
\[ x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{2} \]所以 x 轴截距位于：
\[ \left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \quad \text{和} \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right) \]下图显示了顶点在 \( \left(-\frac{1}{2}, 2\right) \)，由于 \( a = -1 \) 为负，抛物线开口向下，故该顶点为最大值点。
近似的 x 轴截距为：
\[ \left(-\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 0\right) \approx (-1.91, 0), \quad \left(-\frac{1}{2} + \sqrt{2}, 0\right) \approx (0.91, 0) \]y 轴截距位于 \( (0, 1.75) \)。
对称轴是由方程 \( x = h = -\frac{1}{2} \) 给出的垂直线。
由于首项系数 \( a = -1 \) 为负且 \( k = 2 \)，\( y = h(x) \) 的值域为：
\[ y \leq 2 \]参考下图以获取函数特征的直观表示。
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绘制标准形式 \( f(x) = a x^2 + b x + c \) 的二次函数图像的最佳方法之一是首先将其重写为顶点形式，如下所示：
\( f(x) = a(x - h)^2 + k \) ，顶点位于点 \( (h , k) \)
其中 \( h = - \dfrac{b}{2 a}\) 且 \( k = f(h) \)。
然后利用顶点、x 轴和 y 轴截距以及一些其他点（如果需要）来绘制图像。
求函数 \( m(x) = x^2 + 2 x \) 图像的顶点、对称轴、y 轴截距、x 轴截距，并绘制其图像。\( y = m(x) \) 的值域是什么？
识别给定函数的系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \)：
\( a = 1 \), \( b = 2 \), 且 \( c = 0 \)
使用 \( h \) 和 \( k \) 的公式：
\[ h = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \times 1} = -1 \]
\[ k = m(h) = h^2 + 2h = (-1)^2 + 2(-1) = -1 \]
使用上面求得的 \( h \) 和 \( k \) 将 \( m(x) \) 写成顶点形式：
\[ m(x) = a(x - h)^2 + k = (x + 1)^2 - 1 \]
注意：作为练习，展开 \( (x + 1)^2 - 1 \) 并验证其可简化为 \( x^2 + 2x \)。
因此，顶点位于 \( (h, k) = (-1, -1) \)。
对称轴是垂直线 \( x = h = -1 \)。
由于 \( a = 1 \) 为正，抛物线（函数 \( m \) 的图像）开口向上。
y 轴截距位于 \( (0, m(0)) = (0, 0) \)。
x 轴截距通过解以下方程求得：
\[ m(x) = x^2 + 2x = 0 \]
该方程通过因式分解求解：
\[ x^2 + 2x = x(x + 2) = 0 \]
两个解：\( x = 0 \) 和 \( x = -2 \)。
所以，x 轴截距位于 \( (0, 0) \) 和 \( (-2, 0) \)。
首项系数 \( a = 1 \) 为正且 \( k = -1 \)，所以 \( y = m(x) \) 的值域由下式给出：
\[ y \geq -1 \]
图像显示顶点在 \( (-1, -1) \)，由于 \( a = 1 \) 为正，图像开口向上，故该顶点为最小值点。x 轴截距在 \( (0, 0) \) 和 \( (-2, 0) \)，y 轴截距在 \( (0, 0) \)。对称轴是 \( x = h = -1 \)。
因此，\( y = m(x) \) 的值域是 \( y \geq -1 \)。
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识别二次函数的系数
给定的二次函数具有以下系数：\( a = -2 \), \( b = 3 \) 且 \( c = 1 \)。
使用公式求顶点 \((h, k)\)：我们使用顶点坐标 \( h \) 和 \( k \) 的标准公式：
\[ h = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \times (-2)} = \frac{3}{4} \]
\[ k = p(h) = -2(h)^2 + 3(h) + 1 = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{17}{8} \approx 2.13 \]
二次函数的顶点形式函数 \( p(x) \) 可以写成顶点形式：
\[ p(x) = a(x - h)^2 + k = -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} \]
注意：作为练习，尝试展开 \( -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} \) 以验证其可简化为 \( -2x^2 + 3x + 1 \)。
图像性质：为了求 x 轴截距，使用顶点形式解方程 \( p(x) = 0 \)：
\[ -2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{17}{8} = 0 \]
提取平方根：
\[ 2\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{8} \]
\[ \left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{17}{16} \]
\[ x = \frac{3}{4} \pm \sqrt{\frac{17}{16}} \approx 0.75 \pm 1.03 \]
\[ x \approx -0.28 \quad \text{和} \quad x \approx 1.78 \]
x 轴截距近似为：
函数 \( p(x) \) 的图像具有以下关键点：
由于首项系数 \( a = -2 \) 为负且顶点的 y 值为 \( \frac{17}{8} \)，函数的值域为：
\[ y \leq \frac{17}{8} \approx 2.13 \]
为了辅助精确绘图，抛物线上的另外两个点是：
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绘制标准形式的二次函数图像。
1) 求函数 \( s(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 \) 的顶点、x 轴和 y 轴截距，并绘制其图像。 确定函数 \( y = s(x) \) 的值域。
2) 求函数 \( t(x) = 4x^2 + 4x + 2 \) 的顶点、x 轴和 y 轴截距，并绘制其图像。 确定函数 \( y = t(x) \) 的值域。
1)
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2) 抛物线的顶点在 \( (-1, 0) \)。在 \( (-1, 0) \) 处有一个 x 轴截距，该点也是顶点。Y 轴截距在 \( (0, 2) \)。
函数 \( y = t(x) \) 的值域为：
\[ y \geq 0 \].gif)