解三角方程

利用倒数恒等式 \( \sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)} \)，我们可以重写方程来隔离余弦：

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

通过取绝对值求出参考角 \( \theta_r \)：\( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)：

\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \]

由于 \( \cos(\theta) \) 为负，实际的角必须位于第二象限或第三象限。

\[ \text{第二象限： } \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]

\[ \text{第三象限： } \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]

通用解：加上 \( 2n\pi \) 以考虑余弦的周期性（其中 \(n\) 为整数）。

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{和} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \]

两边同除以 2 来隔离正弦函数：

\[ \sin(\theta) = -\dfrac{1}{2} \]

正弦值为 \( 1/2 \) 的参考角为 \( \theta_r = \dfrac{\pi}{6} \)。因为正弦值是负的，所以角必须在第三和第四象限。

\[ \text{第三象限： } \theta_1 = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} \]

\[ \text{第四象限： } \theta_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6} \]

通用解：

\[ \theta = \mathbf{\dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{和} \quad \theta = \mathbf{\dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

首先，用临时变量代替内部自变量。令 \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \)。隔离余弦：

\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]

参考角为 \( \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \)。余弦在第二和第三象限为负。求出 \(\theta\) 的解：

\[ \theta_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ \theta_2 = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]

现在，将 \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \) 代回代替 \(\theta\)，并求解 \(x\)。

第一个方程：

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ 3x = \dfrac{2\pi}{4} + 2n\pi = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \]

\[ x_1 = \mathbf{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

第二个方程：

\[ 3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi \]

\[ 3x = \dfrac{4\pi}{4} + 2n\pi = \pi + 2n\pi \]

\[ x_2 = \mathbf{\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}} \]

当方程同时包含正弦平方和余弦时，使用毕达哥拉斯恒等式 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) 将所有项转化为余弦。

\[ -2(1 - \cos^2 x) - \cos x = -1 \]

\[ -2 + 2\cos^2 x - \cos x = -1 \]

将所有项移到同一侧以形成标准二次方程（\(ax^2+bx+c=0\)）：

\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]

对二次式进行因式分解（把 \(\cos x\) 视为变量 \(u\)）：

\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]

独立求解每个因式：

情况一： \( 2 \cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \)

\[ x = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi} \quad \text{和} \quad x = \mathbf{\dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi} \]

情况二： \( \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \)

余弦在 0 弧度处为 1。

\[ x = 0 + 2n\pi \Rightarrow \mathbf{x = 2n\pi} \]

第一步：应用正弦的二倍角恒等式：\( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。

\[ 2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]

第二步：提取公因式 \( \cos(x) \)。

\[ \cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0 \]

第三步：令每个因式为零并求解。

因式 1： \( \cos(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi} \)

因式 2： \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\dfrac{1}{2} \)

\[ \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi} \quad \text{和} \quad \mathbf{x = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi} \]

第一步：利用恒等式 \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \) 将所有项统一为正割。

\[ (\sec^2(x) - 1) - \sec(x) = 1 \]

第二步：整理成右侧为零的二次方程。

\[ \sec^2(x) - \sec(x) - 2 = 0 \]

第三步：对二次方程因式分解。

\[ (\sec(x) - 2)(\sec(x) + 1) = 0 \]

第四步：利用倒数恒等式求解余弦。

因式 1： \( \sec(x) = 2 \Rightarrow \cos(x) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi, \dfrac{5\pi}{3} + 2n\pi} \)

因式 2： \( \sec(x) = -1 \Rightarrow \cos(x) = -1 \Rightarrow \mathbf{x = \pi + 2n\pi} \)

第一步：方程两边同时平方。警告：平方可能会引入增根，因此必须检查最终答案。

\[ (\sin(x) - \cos(x))^2 = 1^2 \]

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = 1 \]

第二步：使用恒等式 \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) 和 \( 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \)。

\[ 1 - \sin(2x) = 1 \]

\[ \sin(2x) = 0 \]

第三步：求解 \( 2x \)。正弦在 \( \pi \) 的整数倍处为零。

\[ 2x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n\pi}{2} \]

在区间 \( [0, 2\pi) \) 上，可能的角为 \( 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} \)。

第四步：在原方程 \( \sin(x) - \cos(x) = 1 \) 中检查是否存在增根。

• \( x = 0 \)：\( 0 - 1 = -1 \neq 1 \)（舍去）
• \( x = \pi/2 \)：\( 1 - 0 = 1 \)（有效）
• \( x = \pi \)：\( 0 - (-1) = 1 \)（有效）
• \( x = 3\pi/2 \)：\( -1 - 0 = -1 \neq 1 \)（舍去）

答案： \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}} \) 和 \( \mathbf{x = \pi} \)