解三角函数方程
如何解三角函数方程？本文提供相关问题及其详细解答和说明。
示例与解答
示例 1
求三角方程 \[ \sqrt{3} \sec(\theta) + 2 = 0 \] 的所有解
解答 1
使用恒等式 \(\sec(\theta) = \dfrac{1}{\cos(\theta)}\)，将方程改写为：
\[
\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
通过解不带负号的方程求参考角 \(\theta_r\)：
\[
\cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\]
其中 \(\theta_r\) 为锐角且等于参考角。
方程 \( \cos(\theta_r) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) 的解为：
\[
\theta_r = \dfrac{\pi}{6}
\]
使用参考角 \(\theta_r\) 确定给定方程在区间 \([0 , 2\pi)\) 内的解 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)。方程 \(\cos(\theta) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 表明 \(\cos(\theta)\) 为负值，这意味着该方程解的角 \(\theta\) 的终边位于第二或第三象限，如下方单位圆所示。
因此，在区间 \([0 , 2 \pi)\) 内的解为：
\[ \theta_1 = \pi - \theta_r = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\]
\[ \theta_2 = \pi + \theta_r = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}\]
使用区间 \([0 , 2 \pi)\) 内的解，通过加上 \( 2 \pi \) 的整数倍来求所有解：
\[ \theta_1 = \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi ,\quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots\]
\[ \theta_2 = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi ,\quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots\]
下方展示了在区间 \( [0 , 2 \pi) \) 内的图解：
示例 2
解三角方程 \[ 2 \sin(\theta) = -1 \]
解答 2
将上述方程简写为：
\[\sin(\theta) = -\dfrac{1}{2}\]
通过解不带负号的方程求参考角 \(\theta_r\)：
\[ \sin(\theta_r) = \dfrac{1}{2}\]
\( \theta_r\) 为锐角且等于：
\[\theta_r = \dfrac{\pi}{6}\]
使用参考角 \(\theta_r\) 确定给定方程在区间 \([0 , 2\pi)\) 内的解 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)。方程 \(\sin(\theta) = -\dfrac{1}{2}\) 表明 \(\sin(\theta)\) 为负值，这意味着角 \(\theta\) 的终边位于第三或第四象限，如下方单位圆所示。
因此，解为：
\[\theta_1 = \pi + \theta_r = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}\]
\[ \theta_2 = 2\pi - \theta_r = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}\]
使用区间 \([0 , 2\pi)\) 内的解，通过加上 \(2\pi\) 的整数倍来求所有解：
\[\theta_1 = \dfrac{7\pi}{6} + 2n\pi , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots\]
\[\theta_2 = \dfrac{11\pi}{6} + 2n\pi , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots\]
示例 3
解三角方程 \[ \sqrt{2} \cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \]
解答 3
令 \( \theta = 3x + \dfrac{\pi}{4} \)，并将方程简写为：
\[ \sqrt{2} \cos(\theta) = -1 \]
\[ \cos(\theta) = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \]
通过解 \( \cos(\theta_r) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) 求锐角参考角 \( \theta_r \)：
\[ \theta_r = \dfrac{\pi}{4} \]
使用参考角 \(\theta_r\) 确定给定方程在区间 \([0 , 2\pi)\) 内的解 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)。
方程 \( \cos(\theta) = - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 表明 \(\cos(\theta)\) 为负值，这意味着角 \(\theta\) 的终边位于第二或第三象限。因此，方程 \(\cos(\theta) = - \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 在区间 \([0 , 2\pi)\) 内的两个解为：
\[ \theta_1 = \pi - \theta_r = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\]
\[ \theta_2 = \pi + \theta_r = \pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}\]
现在我们通过加上 \( 2\pi \) 的整数倍来写出通解：
\[
\theta_1 = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
\[
\theta_2 = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
现在将 \( \theta_1 \) 和 \( \theta_2 \) 替换为表达式 \( 3x + \dfrac{\pi}{4} \)：
\[
3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi
\]
\[
3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} + 2n\pi
\]
并解出 \( x \) 以获得 \( x \) 的解：
\[
x_1 = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2n\pi}{3}, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
\[
x_2 = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2n\pi}{3}, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]
示例 4
解三角方程 \[ - 2 \sin^2 x - \cos x = - 1 \]
解答 4
如果方程中包含的所有三角函数均相同，则可对上述方程进行因式分解。因此，使用恒等式 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)，我们可以用相同的三角函数 cos x 将上述方程重写为：
\[ - 2 (1 - \cos^2 x) - \cos x = - 1 \]
简化为：
\[ 2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0 \]
对左边进行因式分解：
\[ (2 \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0 \]
因此需要解两个方程：
\[ (1) \quad 2 \cos x + 1 = 0 \quad \text{和} \quad (2) \quad \cos x - 1 = 0 \]
使用参考角解方程 (1)，如前文示例所示：
\[ \cos x = -\dfrac{1}{2} \]
\[ x_{1} = \dfrac{2\pi}{3} + 2n\pi , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots \]
\[ x_{2} = \dfrac{4\pi}{3} + 2n\pi , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots \]
解方程 (2)：
\[ \cos x = 1 \]
\[ x_{3} = 2n\pi , \quad n = 0, \pm 1 , \pm 2, \ldots \]
更多参考资料和链接