掌握三维向量 (\(R^3\))：12道练习题

给定点 \( A(x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) 和 \( B(x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \)，我们使用分量公式：

\[ \vec{AB} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BA} = \langle x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 \rangle = \langle 2-0, 6-(-3), 7-1 \rangle = \langle 2, 9, 6 \rangle \]

为了证明该关系：

\[ \vec{AB} = \langle -2, -9, -6 \rangle = -1 \langle 2, 9, 6 \rangle = -1\vec{BA} \]

a) 使用加法公式：

\[ \vec{v_1} + \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0+(-3), -3+4, 2+5 \rangle = \langle -3, 1, 7 \rangle \]

b) 使用减法公式：

\[ \vec{v_1} - \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle - \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0-(-3), -3-4, 2-5 \rangle = \langle 3, -7, -3 \rangle \]

c) 使用标量乘法：

\[ -3\vec{v_1} = -3 \langle 0,-3,2 \rangle = \langle -3(0), -3(-3), -3(2) \rangle = \langle 0, 9, -6 \rangle \]

d) 标量乘法与加法的组合：

\[ -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\langle 0,-3,2 \rangle + 3\langle -3,4,5 \rangle = \langle 0,6,-4 \rangle + \langle -9,12,15 \rangle = \langle -9, 18, 11 \rangle \]

e) 求向量 \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \)：

\[ \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + k \langle -3,4,5 \rangle = \langle -3k, -3+4k, 2+5k \rangle \]

求出其模长并将其设为等于 \( \sqrt{67} \)：

\[ \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67} \]

两边平方、展开并归类：

\[ 9k^2 + (9 - 24k + 16k^2) + (4 + 20k + 25k^2) = 67 \] \[ 50k^2 - 4k + 13 = 67 \implies 50k^2 - 4k - 54 = 0 \]

解二次方程得到：\( k = -1 \) 且 \( k = 27/25 \)。

单位向量 \( \vec{u} \) 由下式给出：\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} \)。

\[ || \vec{v} || = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13} \] \[ \vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{13}} \langle 0,-3,2 \rangle = \left\langle 0, \dfrac{-3}{\sqrt{13}}, \dfrac{2}{\sqrt{13}} \right\rangle \]

计算 \( \vec{u} \) 的模长进行验证：

\[ || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + \left(\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{9}{13} + \dfrac{4}{13} } = \sqrt{ \dfrac{13}{13} } = 1 \]

使用终点坐标减去起点坐标来求分量：

\[ \vec{AB} = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 0-0, 3-(-3), 4-1 \rangle = \langle 0, 6, 3 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 0-2, 3-6, 4-7 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

现在，验证其和：

\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \langle -2, -9, -6 \rangle + \langle 0, 6, 3 \rangle = \langle -2+0, -9+6, -6+3 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

此结果与 \( \vec{AC} \) 的分量完全一致。

\[ \vec{AB} = \langle 2-(-1), 4-2, 2-1 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 5-2, 6-4, 3-2 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 5-(-1), 6-2, 3-1 \rangle = \langle 6, 4, 2 \rangle \]

\( \vec{AB} \) 和 \( \vec{BC} \) 具有相等的分量，因此它们是等价的。

注意它与 \( \vec{AC} \) 的关系：

\[ \vec{AC} = \langle 6, 4, 2 \rangle = 2 \langle 3, 2, 1 \rangle = 2\vec{BC} \]

因此，\( \vec{AC} \) 是 \( \vec{BC} \)（以及 \( \vec{AB} \)）的标量倍数，这意味着这三个向量是平行的。

设 \( \vec{v} = \langle x,y,z \rangle \) 并使用分量重写方程：

\[ \langle -4,0,2 \rangle - 2 \langle x,y,z \rangle = 3 \langle x,y,z \rangle - 3 \langle -1,-4,2 \rangle \]

展开并化简每一侧：

\[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x - 3(-1), 3y - 3(-4), 3z - 3(2) \rangle \] \[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x + 3, 3y + 12, 3z - 6 \rangle \]

令对应分量相等并求解：

• \( -4 - 2x = 3x + 3 \implies -5x = 7 \implies x = -7/5 \)
• \( -2y = 3y + 12 \implies -5y = 12 \implies y = -12/5 \)
• \( 2 - 2z = 3z - 6 \implies -5z = -8 \implies z = 8/5 \)

最终向量： \( \vec{v} = \langle -7/5, -12/5, 8/5 \rangle \)

同方向且长度加倍的向量 \( \vec{u} \) 实际上就是 \( \vec{v} \) 乘以标量 2：

\[ \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \langle -4,2,2 \rangle = \langle -8, 4, 4 \rangle \]

首先，求出与 \( \vec{v} \) 反方向的单位向量，即 \( -\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)。

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \]

反方向的单位向量为 \( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \)。

为了使其模长为 5，乘以标量 5：

\[ \vec{u} = 5 \left( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \right) = -\dfrac{5}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle = \left\langle \dfrac{5}{3}, -\dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3} \right\rangle \]

我们使用标量模长性质：\( ||k \vec{v} || = |k| \cdot || \vec{v} || \)。

首先，求 \( \vec{v} \) 的模长：

\[ || \vec{v} || = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3 \]

将其代入方程中：

\[ 3|k| = \dfrac{1}{5} \implies |k| = \dfrac{1}{15} \]

这会产生两个可能的 \( k \) 解：

\[ k = \dfrac{1}{15} \quad \text{和} \quad k = -\dfrac{1}{15} \]

如果一个向量是另一个向量的标量倍数，则这两个向量平行：\( \vec{v_1} = k \vec{v_2} \)。

\[ \langle -4,6,2 \rangle = k \langle 2,b,c \rangle = \langle 2k, kb, kc \rangle \]

为每个分量建立方程：

• \( -4 = 2k \implies k = -2 \)
• \( 6 = kb \implies 6 = -2b \implies b = -3 \)
• \( 2 = kc \implies 2 = -2c \implies c = -1 \)

结果： \( b = -3 \) 且 \( c = -1 \)。

为了使点 A、B 和 C 共线，向量 \( \vec{AB} \) 和 \( \vec{AC} \) 必须平行（即 \( \vec{AC} = k \vec{AB} \)）。

\[ \vec{AC} = \langle 0-2, 2-6, 3-7 \rangle = \langle -2, -4, -4 \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 1-2, 4-6, 5-7 \rangle = \langle -1, -2, -2 \rangle \]

检查是否存在标量倍数：

\[ \langle -2, -4, -4 \rangle = 2 \langle -1, -2, -2 \rangle \]

由于 \( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \)，这些向量平行且共用点 A。因此，这三点共线。

首先，根据边长为 2 且 A 在原点，定义各顶点的坐标：

A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2)。

• \( \vec{AB} = \langle 2-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{EF} = \langle 2-0, 0-0, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{DC} = \langle 2-0, 2-2, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{HG} = \langle 2-0, 2-2, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{AC} = \langle 2-0, 2-0, 0-0 \rangle = \langle 2,2,0 \rangle \)
• \( \vec{AG} = \langle 2-0, 2-0, 2-0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

向量 \( \vec{AB} \)、\( \vec{EF} \)、\( \vec{DC} \) 和 \( \vec{HG} \) 具有相等的分量 \( \langle 2,0,0 \rangle \)，因此它们是等价的。

用代数方法计算左侧和右侧：

左侧：\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \langle 2,0,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle + \langle 0,2,0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

右侧：\( \vec{AC} + \vec{CG} = \langle 2,2,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

因此，\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \)。

求 \( \vec{AG} \) 的模长：

\[ || \vec{AG} || = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

\( \vec{AG} \) 方向上的单位向量：

\[ \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \langle 2,2,2 \rangle = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\rangle \]