三维向量 (R³)：综合指南与运算

什么是向量？

向量是同时具有大小（模长）和方向的定量。它在几何上由一条线段表示，线段的长度即为模长，箭头则指示其方向，如下图所示。向量在物理学中用于对具有大小和方向的量（如速度、力、加速度）进行建模；在工程学、化学、计算机图形学、机器人学以及许多其他领域也有广泛应用。

在上图中，向量由起点 A 和终点 B 定义。因此，该向量可以记为 \( \vec{AB} \)。

等价向量

无论它们在空间中的位置如何，具有相等模长和相同方向的向量称为等价向量。

几何向量运算

两个向量的和

给定两个向量 \( \vec{v_1} \) 和 \( \vec{v_2} \)，它们的和是通过首先放置向量 \( \vec{v_2} \)，使其起点与 \( \vec{v_1} \) 的终点重合而得到的向量。和向量 \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) 的起点是 \( \vec{v_1} \) 的起点，其终点是 \( \vec{v_2} \) 的终点。

请注意，\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \)。此外，两个向量的和与由 \( \vec{v_1} \) 和 \( \vec{v_2} \) 确定的平行四边形的对角线重合。

两个向量的差

给定两个向量 \( \vec{v_1} \) 和 \( \vec{v_2} \)，差 \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) 可以定义为和 \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \)，并在几何上表示如下。

向量与标量的乘法

向量 \( \vec{v_1} \) 乘以标量 \( k \) 定义为一个向量 \( k\vec{v_1} \)，它与 \( \vec{v_1} \) 平行；当 \( k \gt 0 \) 时，其方向与 \( \vec{v_1} \) 相同，当 \( k \lt 0 \) 时，其方向相反。\( k\vec{v_1} \) 的模长（长度）是 \( \vec{v_1} \) 模长的 \( | k | \) 倍。

下图显示了向量 \( \vec{v_1} \)、\( 2\vec{v_1} \) 和 \( -3 \vec{v_1} \)。

三维直角坐标系中的向量

单位向量是模长等于 1 的向量。下图显示了一个三维直角坐标系，其中 \(\vec{i} \)、\(\vec{j} \) 和 \(\vec{k} \) 分别是沿 x、y 和 z 轴正方向的单位向量。单位向量 \(\vec{i} \)、\(\vec{j} \) 和 \(\vec{k} \) 可以通过它们的分量定义如下：

• \(\vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle\)，沿 x 轴的一个单位。
• \(\vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle\)，沿 y 轴的一个单位。
• \(\vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle\)，沿 z 轴的一个单位。

向量的分量

任意向量 \(\vec{v} \) 的分量是通过将 \(\vec{v} \) 表示为单位向量 \(\vec{i} \)、\(\vec{j} \) 和 \(\vec{k} \) 的倍数的和来定义的，如下所示：

或者使用尖括号的分量形式表示如下：

由起点 \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \) 和终点 \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \) 定义的向量 \(\vec{v} \) 的分量由下式给出：

计算模长与单位向量

给定向量 \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \)，其模长（或长度）由下式给出：

与 \( \vec{v} \) 同方向、模长等于 1 的单位向量 \( \vec{u} \) 由下式给出：

代数和、差与标量乘法

给定向量 \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \) 和 \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \)，它们的和 \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)、差 \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \) 以及标量乘法 \( k \vec{v_1} \)（其中 k 为实数）由下式给出：