三维向量 (R³) 习题及解答

本文介绍三维向量的基本概念及其运算，包括向量的加法、减法和标量乘法。同时涵盖向量的模长等重要性质。文末包含习题及详细解答。

向量的定义

向量是兼具大小（模长）和方向的量。在几何上用带箭头的线段表示，线段的长度代表向量的大小，箭头指向代表向量的方向，如下图所示。在物理学中，向量常用于描述具有大小和方向的量，如速度、力、加速度等；同时广泛应用于工程学、化学、计算机图形学、机器人学等诸多领域。

向量图示

上图中，向量通过起点A和终点B定义，因此该向量可记作\( \vec{AB} \)。

相等向量

大小相等且方向相同的向量称为相等向量。

相等向量示意图

向量的加法

已知向量\( \vec{v_1} \)和\( \vec{v_2} \)，将向量\( \vec{v_2} \)的起点平移至向量\( \vec{v_1} \)的终点，则和向量\( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)的起点为\( \vec{v_1} \)的起点，终点为\( \vec{v_2} \)的终点。注意向量加法满足交换律：\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \)。从几何上看，两个向量的和等于以这两个向量为邻边构成的平行四边形的对角线。

向量加法示意图

向量的减法

已知向量\( \vec{v_1} \)和\( \vec{v_2} \)，差向量\( \vec{v_2} - \vec{v_1} \)可定义为\( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \)，其几何表示如下所示。

向量减法示意图

向量的标量乘法

向量\( \vec{v_1} \)与标量\( k \)的乘积记作\( k\vec{v_1} \)，是与\( \vec{v_1} \)平行的向量。当\( k > 0 \)时，方向与\( \vec{v_1} \)相同；当\( k < 0 \)时，方向与\( \vec{v_1} \)相反。向量\( k\vec{v_1} \)的模长是\( \vec{v_1} \)模长的\( | k | \)倍。下图展示了向量\( \vec{v_1} \)、\( 2\vec{v_1} \)和\( -3 \vec{v_1} \)。

向量的标量乘法示意图

三维直角坐标系中的向量

单位向量是模长为1的向量。下图展示了三维直角坐标系，其中单位向量\(\vec{i} \)、\(\vec{j} \)和\(\vec{k} \)分别指向x轴、y轴和z轴的正方向。这些单位向量可用其分量表示如下：

\(\vec{i} = \lt 1 , 0 , 0 >\)，表示沿x轴正方向一个单位长度。

\(\vec{j} = \lt 0,1,0> \)，表示沿y轴正方向一个单位长度。

\(\vec{k} = \lt 0 ,0,1> \)，表示沿z轴正方向一个单位长度。

沿x、y、z轴的单位向量

向量的分量表示

任意向量\(\vec{v} \)的分量可通过将其表示为单位向量\(\vec{i} \)、\(\vec{j} \)和\(\vec{k} \)的线性组合来定义： \[ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k}\] 或用分量形式表示为： \[ \vec{v} = \lt 3,4,5> \]

向量分量图示

若向量\(\vec{v} \)由起点\( A = (x_1 , y_1 ,z_1)\)和终点\( B = (x_2 , y_2 ,z_2) \)定义，则其分量为： \[ \vec{v} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> \]

由起点和终点定义的向量

利用向量分量计算模长及单位向量

已知向量\( \vec{v} = \lt a,b,c> \)，其模长（或长度）计算公式为： \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \] 单位向量\( \vec{u} \)是与\( \vec{v} \)方向相同、模长为1的向量，计算公式为： \[ u = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \]

利用向量分量进行加法、减法和标量乘法运算

已知向量\( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> \)和\( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> \)，其加法\( \vec{v_1} + \vec{v_2}\)、减法\( \vec{v_1} - \vec{v_2}\)及标量乘法\( k \vec{v_1} \)（其中k为实数）运算公式如下： \[ \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \] \[ \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \] \[ k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \]

三维向量习题

以下习题的详细解答与分析已包含在链接中。

1) 已知点A(2,6,7)和B(0,-3,1)，求向量\( \vec{AB} \)和\( \vec{BA}\)的分量，并证明\( \vec{AB} = -1 \vec{BA}\)。

2) 已知向量\(\vec{v_1} = \lt 0,-3,2>\)和\( \vec{v_2} = \lt-3,4,5> \)，计算：

\( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)
\( -3\vec{v_1} \)
\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)
实数\( k \)使得\( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \)

3) 已知向量\(\vec{v} = \lt 0,-3,2>\)，求与\(\vec{v} \)方向相同的单位向量，并验证其模长为1。

4) 已知点A(2,6,7)、B(0,-3,1)和C(0,3,4)，求向量\( \vec{AB} \)、\( \vec{AC}\)和\( \vec{BC}\)的分量，并证明\( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)。

5) 已知点A(-1,2,1)、B(2,4,2)和C(5,6,3)，求向量\( \vec{AB} \)、\( \vec{BC}\)和\( \vec{AC}\)的分量，判断哪些向量相等，哪些向量平行。

6) 已知向量\(\vec{v_1} = \lt -4,0,2>\)和\( \vec{v_2} = \lt -1,-4,2> \)，求向量\( \vec{v} \)使得\(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)

7) 求与向量\( \vec{v} = \lt-4,2,2> \)方向相同但模长为其两倍的向量。

8) 求与向量\( \vec{v} = \lt -1,2,2> \)方向相反但模长为5的向量。

9) 已知向量\( \vec{v} = \lt -1,2,2> \)，求实数\( k \)使得\( ||k \vec{v} || = 1/5 \)。

10) 求实数\( b \)和\( c \)使得向量\(\vec{v_1} = \lt -4,6,2>\)与\( \vec{v_2} = \lt 2,b,c> \)平行。

11) 判断三点A(2,6,7)、B(1,4,5)和C(0,2,3)是否共线。

12) 下图是边长为2个单位的立方体。

a) 求向量\( \vec{AB} \)、\( \vec{EF} \)、\( \vec{DC} \)、\( \vec{HG} \)、\( \vec{AC} \)和\( \vec{AG} \)的分量。

b) 第一部分中哪些向量是相等向量？

c) 用代数方法证明\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \)。

d) 计算\( || \vec{AG} || \)。

e) 求与向量\( \vec{AG} \)方向相同的单位向量。

立方体示意图

以上习题的详细解答与分析。

三维向量 (R3) 习题及解答