高三（12年级）代数练习题与解答

我们将给定的表达式重写为具有相同指数的形式，以便轻松比较它们的底数。为此，我们使用幂的乘方运算法则：\( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \)。

让我们把所有表达式的外部指数都化为 100：

\[ 25^{100} \text{ （指数已经是 100）} \]

\[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \]

\[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \]

\[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \]

\[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \]

现在指数相同了，我们只需比较底数的大小（81、64、25、16、8）即可从大到小排序：

\[ \mathbf{3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300}} \]

根据有理根定理，多项式 \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) 的可能有理零点由下式给出：

\[ \dfrac{\text{常数项 } a_0 \text{ 的因数}}{\text{首项系数 } a_n \text{ 的因数} } \]

从给定的多项式中识别首项系数和常数项：

首项系数为 \( 1 \)，其因式为：\( \pm 1 \)

常数项为 \( 6 \)，其因式为：\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)

因此，将常数项的因式除以首项系数的因式，可得到可能的有理零点：

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

测试有理零点，通过直接代入计算看哪些结果等于 0：

\[ P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

\[ P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \]

\[ P(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 \]

由于这些值满足 \( P(x) = 0 \)，它们就是 \( P(x) \) 的零点。多项式 \( P(x) \) 的有理零点为：

\[ \mathbf{x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3} \]

因此，可以利用这些根以 \( (x - \text{根}) \) 的形式将多项式完全因式分解：

\[ \mathbf{P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)} \]

我们分析图中的 x 截距（零点）以确定因式及其重数。如果图像在某点与坐标轴相切并折回，则该零点具有偶数重数；如果直接穿过坐标轴，则具有奇数重数。

• 从图中可知，在 \( x = -3 \) 处，曲线与 x 轴相切并折回。这意味着 \( x = -3 \) 是一个重数为 2 的零点，由此得到因式 \( (x + 3)^2 \)。
• 在 \( x = 0 \) 处，曲线直接穿过坐标轴。这意味着 \( x = 0 \) 是一个重数为 1 的零点，由此得到因式 \( x \)。
• 在 \( x = 2 \) 处，曲线再次与 x 轴相切并折回。这意味着 \( x = 2 \) 是一个重数为 2 的零点，由此得到因式 \( (x - 2)^2 \)。

将重数相加（\( 2 + 1 + 2 \)），该多项式的最低可能次数为 5。

接下来，我们通过观察端点行为来确定首项系数的符号。该图像右侧下降，左侧上升。具有这种端点行为的奇数次多项式必须具有负的首项系数。

题目告知首项系数的绝对值为 1，因此首项系数必须恰好为 \( -1 \)。

结合首项系数和各个因式，\( P(x) \) 的表达式为：

\[ \mathbf{P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2} \]

根据复数共轭根定理，由于多项式 \( P(x) \) 的系数都是实数，任何复数根必须成对出现。因此，如果 \( 2 - i \) 是一个零点，那么 \( 2 + i \) 也是 \( P(x) \) 的零点。

接下来，我们将这两个复数根相乘，求出与之对应的二次因式：

\[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \]

重新分组以构造平方差公式，可以简化展开过程：

\[ = (x - 2 + i)(x - 2 - i) \]

\[ = (x - 2)^2 - i^2 \]

回想虚数单位的平方等于 \( -1 \)（即 \( i^2 = -1 \)）。将其代入方程：

\[ = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \]

现在展开完全平方：

\[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 \]

由于 \( P(x) \) 可以被这个二次因式 \( x^2 - 4x + 5 \) 整除，我们执行多项式长除法来求出其余的因式：

\[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5) \]

相除后，余数为 0，商为 \( x^2 - 2 \)。这个商可以进一步因式分解为平方差：

\[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

将这些因式设为零便可得到其余的根。因此，\( P(x) \) 的完整零点集合为：

\[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}} \]

我们使用二次函数的顶点式，这样可以直接代入顶点的坐标：

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

将给定的顶点 \( (h, k) = (-2,1) \) 代入方程：

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

现在，利用给定的点 \( (0, -3) \) 来求解未知乘数 \( a \)。代入 \( x = 0 \) 和 \( f(0) = -3 \)：

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

化简平方项：

\[ -3 = 4a + 1 \]

两边减 1 并求解 \( a \)：

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

将 \( a = -1 \) 代回顶点式中得到我们的完整方程：

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

为了求出 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的值，必须将该方程展开为标准形式 \( ax^2 + bx + c \)：

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

分发负号：

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

合并常数项：

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

将其与标准二次形式 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 进行比较，我们得出：

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

方法一：代数代入法

二次函数的标准形式为：

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

给定 \( f(1) = 3 \)，我们代入 \( x = 1 \) 建立第一个方程：

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{（方程 B）} \]

给定 \( f(5) = 3 \)，我们代入 \( x = 5 \) 建立第二个方程：

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{（方程 C）} \]

用方程 C 减去方程 B 以消去变量 \( c \)：

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

两边同除以 4 简化得：\( 6a + b = 0 \)，这意味着 \( b = -6a \)。

任何二次函数的顶点横坐标由公式 \( \dfrac{-b}{2a} \) 给出。将 \( -6a \) 代入 \( b \)：

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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注意：如果利用几何性质，这道题可以解得更快：

由于 \( f(x) \) 是一个二次函数，且满足 \( f(1) = 3 \) 和 \( f(5) = 3 \)，因此点 \( (1, 3) \) 和 \( (5, 3) \) 位于抛物线上。因为它们具有相同的纵坐标（3），所以它们在图上代表水平对称的点。

由于该函数是二次的，顶点的横坐标恰好位于任意两个对称点正中间。因此，它等于这两个点中点横坐标。

计算中点的横坐标：

\[ x_{\text{vertex}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

函数 \( f(x) \) 图像顶点的横坐标为 3。

有理函数的斜渐近线是分子除以分母进行多项式长除法所得的商。

让我们对 \( a x^4 + b x^3 + 3 \) 除以 \( x^3 - 2 \) 进行长除法：

1. 将首项 \( ax^4 \) 除以 \( x^3 \)，得到 \( ax \)。这是商的第一项。

2. 将 \( ax \) 乘以整个分母 \( (x^3 - 2) \)，得到 \( ax^4 - 2ax \)。

3. 从分子中减去该项：\( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \)。

4. 现在，将新的首项 \( bx^3 \) 除以 \( x^3 \)，得到 \( b \)。这是商的第二项。

通过长除法，我们得到完整表达式：

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

商 \( ax + b \) 就是斜渐近线。题目给出斜渐近线为直线 \( 2x - 3 \)。

因此，我们将它们对应相等：

\[ ax + b = 2x - 3 \]

由于两个多项式相等当且仅当其对应系数相等，我们对比各项系数得出：

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

给定方程：

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

首先，简化给定方程的右侧。由于 8 可以写成 \( 2^3 \)，该对数可以轻松化简：

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

代入新值重写原方程：

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

为了求解 \( x \)，我们可以利用运算法则 \( c = \log_b(b^c) \)，将数字 3 写成以 9 为底的对数，使两边匹配：

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

由于两侧的对数底数相同，我们可以去掉对数，直接对真数建立代数方程：

\[ x^3 = 9^3 \]

两边同时开立方求解 \( x \)：

\[ \mathbf{x = 9} \]

给定初始对数方程：

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

为了在 \( x \) 和 \( y \) 之间建立代数关系，将对数形式转换为指数形式（\( \text{底数}^{\text{结果}} = \text{真数} \)）：

\[ x^2 = y^3 \]

我们要评估的目标表达式是 \( \log_y(x^4) \)，其中包含 \( x^4 \)。我们需要对指数方程进行变形以凑出 \( x^4 \)。将方程两边平方：

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

使用幂的乘方运算法则简化：

\[ x^4 = y^6 \]

现在，将 \( x^4 \) 的这个值代回我们要评估的目标表达式中。两边取以 \( y \) 为底的对数并简化：

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

利用对数性质 \( \log_b(b^k) = k \)，该表达式计算结果为：

\[ \mathbf{6} \]

给定对数方程：

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

为了求解底数 \( x \)，将对数方程转换为指数形式（\( \text{底数}^{\text{结果}} = \text{真数} \)）：

\[ x^3 = 8e^3 \]

为了隔离 \( x \)，我们在方程两边同时开立方：

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

我们可以化简根号内的表达式。由于 \( 8 \) 是一个立方数（\( 8 = 2^3 \j）），我们将其代入并组合各项：

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

立方根和三次方相互抵消，得到最终答案：

\[ \mathbf{x = 2e} \]

给定指数方程：

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

首先，利用指数规则拆分并重写各项，使它们具有公共底数 4。我们知道 \( 16 = 4^2 \)：

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

对于第二项，使用规则 \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \) 以及上面的代换：

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

将这些简化的项代回原方程：

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

提取公因式 \( 4^{2x} \) 将其隔离：\( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \)，即 \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \)。两边同乘以 \( \dfrac{16}{17} \) 来求解 \( 4^{2x} \)：

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

为了将底数从 4 降为 2，对上述方程两边取正平方根（指数函数恒为正）：

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

因此，由于 \( 4^x \) 在数学上等同于 \( 2^{2x} \)（因为 \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \j）），我们得到了答案：

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

注：本题也可以从一开始直接转化为以 2 为底来求解。

直接代入 \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \) 到方程中，并遵循与上述解答类似的分组提取步骤。

给定第一个方程：

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

因为我们要求解四次方项的和，所以必须将给定方程的两边平方，以产生更高次幂：

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

使用完全平方二项式公式展开左侧 \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)：

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

重新排列各项，得到包含我们目标 \( a^4 + b^4 \) 的表达式：

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{（I）} \]

现在我们使用第二个已知条件：

\[ ab = 2 \]

将上述方程两边平方，使其与展开式的中间项相匹配：

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

将这个值 \( 4 \) 代入方程（I）中替换 \( a^2b^2 \)：

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

相乘简化：

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

两边加 8 得到最终值。因此：

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

要求解复杂三角函数的最大值和最小值，我们由内向外构建它。我们知道基本正弦函数的基本范围始终在 -1 和 1 之间，与其内部自变量无关：

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

将双不等式的所有项乘以振幅系数 2：

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

将垂直平移量 -5 加到不等式的所有项中：

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

简化边界：

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

现在，通过应用绝对值运算来改变上述不等式。由于绝对值内的整个表达式严格处于负数范围（从 -7 到 -3），取绝对值会使符号变为正，并反转边界的数值顺序：

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

最后，将外部常数 3 加到双不等式的所有项中，以补全函数 \( f(x) \)：

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

简化边界以揭示最终的值域：

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

因此，\( f(x) \) 的最大值等于 10，最小值等于 6。

在化简嵌套绝对值时，我们由内向外进行。我们利用给定的定义域条件来确定条形内部表达式的符号。如果表达式为负，我们将其乘以 -1 来计算绝对值。

给出条件：若 \( x \lt -7 \)，则通过两边加 4，我们可知：

\[ x \lt -3 \]

在上述不等式两边加 3 并简化，以确定内部表达式 \( (3 + x) \) 的符号：

\[ x + 3 \lt 0 \]

由于 \( (3+x) \) 明确小于零，根据绝对值的定义，我们必须将其乘以 -1 才能去掉绝对值符号：

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

将其代回。给定表达式简化为：

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

现在我们评估外部绝对值 \( |x + 7| \)。回到我们最初的条件 \( x \lt -7 \)。两边加 7 表明：

\[ x + 7 \lt 0 \]

由于这个新表达式同样明确为负，我们再次乘以 -1 来计算绝对值：

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

因此，完全化简后的表达式为：

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

平均速度不是简单地将两个速度平均计算出来的；它必须通过公式计算：总路程除以总时间。我们必须建立路程和时间的表达式。

设 \( d \) 为 \( A \) 和 \( B \) 之间的距离。从 A 到 B 行驶第一段路程所花费的时间通过距离除以速度计算：

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

其中 50 公里/小时是自 \( A \) 至 \( B \) 的平均速度。

设返程（自 \( B \) 至 \( A \)）的未知平均速度为 \( v \)。返程所花费的时间为：

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

整个往返行程的总时间是两段耗时之和：

\[ t_{\text{total}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

行驶的总路程（往返）简单地等于两倍距离：

\[ d + d = 2d \]

整个行程的平均速度由总路程除以总时间给出。将此公式等于我们的目标平均速度 60 公里/小时：

\[ \text{平均速度} = \dfrac{\text{总路程}}{\text{总时间}} = \dfrac{2d}{t_{\text{total}}} \]

将我们构建的表达式代入公式：

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

注意，距离 \( d \) 存在于每一项中。通过约分从分子和分母中消去 \( d \)：

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

为了消去分式，两边同乘以分母表达式 \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \)：

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

分配 60 以简化括号内的项：

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1.2 + \dfrac{60}{v} \]

两边减 1.2 以隔离含变量的项：

\[ 0.8 = \dfrac{60}{v} \]

通过乘以 \( v \) 并除以 0.8 来求解 \( v \)：

\[ v = \dfrac{60}{0.8} = 75 \]

因此，返程从 \( B \) 到 \( A \) 的平均速度需要达到 75 公里/小时，才能使整个行程的平均速度达到 60 公里/小时。

给定非线性方程，我们可以使用平方差代数恒等式将其因式分解为更简单的二项式：

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

我们已知第二个方程：\( x + y = 6 \)。将因式方程中的 \( (x + y) \) 替换为数字 6：

\[ (x - y)(6) = -12 \]

两边同除以 6 求解 \( x - y \)：

\[ (x - y) = -2 \]

我们现在得到了一个简单的线性方程组，可以使用加减消元法或代入法求解：

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

将两个方程上下相加以消去 \( y \) 变量：\( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \)，得到 \( 2x = 4 \)，即 \( x = 2 \)。

将 \( x = 2 \) 代回第二个方程：\( 2 + y = 6 \)，得到 \( y = 4 \)。

解上述方程组得出最终答案：

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

给定函数方程：

\[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

为了求特定值如 \( f(2) \)，我们需要为 \( x \) 代入具有战略意义的值，以构建一个可解的方程组。首先，在给定方程中代入 \( x = 2 \)：

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

这创造了一个包含新未知数 \( f(6) \) 的方程。为了找到消除它的方法，在原方程中代入 \( x = 6 \)：

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

我们现在有了一个包含两个方程的系统。我们可以求解方程（B）以隔离 \( f(6) \)：

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

将 \( f(6) \) 的这个表达式代回方程（A）：

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

通过分配 3 展开表达式并合并同类项：

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

两边减 18 并求解 \( f(2) \)：

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

给定递归函数方程：

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

我们必须以已知值 \( f(0) = 2 \) 作为跳板来寻找 \( f(3) \)。我们需要确定哪些 \( x \) 值会产生所需的函数求值。

为了找到从 \( x=0 \) 开始链条中的下一步，令方程 \( A \) 中的 \( x = 0 \)：

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

将已知值 \( f(0) = 2 \) 代入方程：

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

现在我们知道了 \( f(1) = 5 \)。我们想要求出 \( f(3) \)。我们需要左侧的内部自变量 \( (2x+1) \) 等于 3。当 \( x = 1 \) 时会出现这种情况。在方程 \( A \) 中令 \( x = 1 \)：

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

将我们新计算出的值 \( f(1) = 5 \) 代入方程 \( B \) 得到最终答案：

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

让我们通过解这两个给定方程组成的系统来找出圆和直线的交点。与圆相切的直线恰好在一个点与圆相交，这意味着所得到的系统应该恰好有一个解。

将 \( y \) 的表达式（即 \( 2 x + b \)）代入圆的方程中：

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

展开平方二项式并通过合并同类项简化方程：

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

交点的数量由上述二次方程的解的数量给出。如果上述二次方程只有一个解，则直线与圆相切。当判别式（\( \Delta = B^2 - 4AC \j））等于零时，二次方程恰好有一个解。

以 \( b \) 为函数求判别式 \( \Delta \)，使用 \( A=5 \)、\( B=4b \) 和 \( C=(b^2 - 4) \)：

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

将判别式设为零并求解 \( b \)：

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

两边同开平方。求解 \( b \) 得到两个解：

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

设分子多项式为 \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \)，分母多项式（除数）为 \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \)。

两个多项式的除法可以写成代数形式：

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

其中 \( Q(x) \) 是商，\( r(x) \) 是余式。根据多项式除法的定义，因为除数 \( D(x) \) 的次数为 2，所以余式的次数将等于或小于 1。因此，我们可以将余式表示为一个一次方程 \( r(x) = ax + b \)。

我们现在需要求出定义该余式的 \( a \) 和 \( b \) 的值。

注意 \( D(x) \) 可以因式分解为二项式：

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

因此，我们将因式分解后的除数和一次余式代入我们的除法方程中：

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

利用 \( D(x) \) 的零点（即 1 和 2），我们可以对 \( P(x) \) 进行求值。由于代入除数的零点会使整个商项乘以零，从而隔离了我们的余式项。首先，我们写出 \( x=1 \) 的方程：

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

这简化为：

\[ a + b = P(1) \]

同理，我们写出 \( x=2 \) 的方程：

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

这简化为：

\[ 2a + b = P(2) \]

现在我们需要使用原多项式计算 \( P(1) \) 和 \( P(2) \)。

将 \( x=1 \) 代入 \( P(x) \)：

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

接下来，我们将 \( P(x) \) 稍微重写并因式分解，以便于计算较大的数：

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

因此，通过代入 \( x=2 \) 计算 \( P(2) \)：

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

我们现在有一个关于 \( a \) 和 \( b \) 的线性方程组要解：

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

由第一个方程可知 \( b = -a \)。将其代入第二个方程：\( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \)。

解此系统得出：

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{且} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

因此，将 \( a \) 和 \( b \) 代回 \( r(x) = ax+b \) 中，余式为：

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

我们可以通过将整个无穷表达式设为一个变量来解这个嵌套根式。

设 \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \)。

方程两边同时平方以消除最外层的平方根：

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

由于平方根的序列是无穷的，第一个根号下的表达式与我们最初对变量 \( y \) 的定义完全相同。因此，我们可以将 \( y \) 代入方程的右侧。我们可以写成：

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

这是一个标准的二次方程。将其重新排列并设为零以便求解。两边同乘以 3 以消去分式，得到 \( 3y^2 = 1 + 3y \)，即：

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

使用求根公式（\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \j）求解上述二次方程得到：

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{或} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

由于原表达式是算术平方根，\( y \) 必须计算出一个正数。由于 \( \sqrt{21} > 3 \)，第二个选项会产生负数结果。既然 \( y \) 是正数，那么解就是正根：

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

我们可以通过提取矩阵并求其行列式来确定方程组的可解性。由变量系数组成的系数矩阵 \( A \) 为：

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

由等号右侧的值组成的常数矩阵 \( b \) 为：

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

克拉默法则给出了用由系数矩阵 \( A \) 派生并用右侧常数替换列后的矩阵行列式表示每个变量的解。如果 \( A \) 的行列式为零，但修改后的行列式不为零，则该系统无解。

为了求 \( x \)，用常数向量 \( b \) 替换 \( A \) 的第一列：

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

然后，\( x \) 的解由分式给出：\( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)

为了求 \( y \)，用常数向量 \( b \) 替换 \( A \) 的第二列：

\[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \implies y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \]

为了求 \( z \)，用常数向量 \( b \) 替换 \( A \) 的第三列：

\[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \implies z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

现在，我们需要计算矩阵 \( A \) 和 \( A_x \) 的行列式。首先，评估矩阵 \( A \)：

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

沿第一行进行余 cofactor 展开（将顶行的每个元素乘以划掉其行和列后剩余的 2x2 矩阵的行列式）：

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

使用公式 \( (ad - bc) \) 计算 2x2 行列式：

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \]

将这些计算出的值代回主行列式公式中：

\[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

因此，我们已经确定了 \( \text{det}(A) = 0 \)。这意味着该系统没有唯一解。现在我们检查修改后的矩阵 \( A_x \) 的行列式：

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

我们以完全相同的方式沿第一行使用余 cofactor 展开来计算它：

\[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \]

计算 2x2 行列式：

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 7 - 16 = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -28 - 24 = -52 \]

将这些值代入展开式公式：

\[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

无需继续计算 \( A_y \) 或 \( A_z \)。因为克拉默法则需要除以 \( \text{det}(A) \)，评估 \( x \) 会导致 \( \dfrac{220}{0} \)，这是未定义的。如果 \( A_x \)、\( A_y \) 或 \( A_z \) 的行列式之一为非零而主行列式为零，则方程组不相容且无解。

要合并和相加对数，它们必须具有完全相同的底数。我们可以使用换底公式 \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \)，将方程中的所有对数转换为以 2 为底。

首先，转换以 4 为底的项。我们知道 \( \log_2(4) = 2 \)：

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

接下来，转换以 16 为底的项。我们知道 \( \log_2(16) = 4 \)：

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

现在将这些转换后的项代回原方程：

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

由于所有项现在都包含相同的变量因子 \( \log_2(x) \)，我们可以将其提取出来：

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

求公分母（即 4）以相加括号内的分数：

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

\[ \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

两边同乘以倒数 \( \dfrac{4}{7} \) 以隔离对数：

\[ \log_2(x) = 4 \]

最后，将方程从对数形式转换为指数形式（\( \text{底数}^{\text{结果}} = \text{真数} \)）来求解 \( x \)：

\[ x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

这个系统看起来令人生畏，但我们可以使用立方和的标准代数恒等式来对第一个方程进行因式分解并简化整个系统：

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

将原方程的已知值代入该恒等式中。我们已知立方和为 35，基础变量和为 5：

\[ 35 = (5)(x^2 - xy + y^2) \]

两边同除以 5 以隔离二次表达式：

\[ x^2 - xy + y^2 = 7 \quad \text{（方程 A）} \]

我们需要另一个方程来与之比较。看看表达式 \( (x+y)^2 \)。如果我们取第二个给定方程 \( (x+y = 5) \) 并在两边平方，我们得到：

\[ (x+y)^2 = 5^2 \]

展开完全平方二项式：

\[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \quad \text{（方程 B）} \]

现在我们可以用方程 B 减去方程 A，以消去平方项并隔离 \( xy \)：

\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7 \]

\[ 3xy = 18 \]

除以 3：

\[ xy = 6 \]

我们已经将复杂的立方系统简化为一个更简单的谜题：我们正在寻找两个数，它们的和为 5（\( x+y=5 \)），它们的积为 6（\( xy=6 \j））。从几何上讲，这些是形如 \( t^2 - (\text{和})t + (\text{积}) = 0 \) 的二次方程的根。

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]

将该二次方程因式分解得到 \( (t-2)(t-3) = 0 \)，这意味着这两个数必须是 2 和 3。

由于原方程组对于 \( x \) 和 \( y \) 具有完全的对称性，任一变量都可以取任一值。解为坐标对：

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{和} \quad (3, 2)} \]

要解有理不等式，我们必须首先通过将分子和分母完全因式分解来找到所有的临界点。

分子和分母表达式都是平方差。让我们将它们因式分解：

\[ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \]

临界点出现在分子为零的地方（代表 x 截距）以及分母为零的地方（代表函数无定义的垂直渐近线）。

• 分子零点： \( x = 3, x = -3 \)。因为不等式带有“小于或等于”符号（\( \leq \j），所以允许函数值为零。因此，这些点将包含在我们的最终解中（使用实心方括号）。
• 分母零点： \( x = 2, x = -2 \)。由于除以零在数学上是无定义的，函数在这些点上永远不存在。因此，这些点将永远不包含在我们的最终解中（使用圆括号）。

我们将这四个临界点按数值顺序标在数轴上：-3、-2、2、3。这把数轴分割成五个不同的区间。我们必须测试每个区间内的一个随机值，以查看整体分式表达式计算结果是正数还是负数：

• 区间 \( (-\infty, -3) \)：测试 \( x = -4 \)。已因式分解各项的符号为 \( \dfrac{(-)(-)}{(-)(-)} \)。负数除以负数为正。
• 区间 \( (-3, -2) \)：测试 \( x = -2.5 \)。符号为 \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(-)} \)。负数除以正数为负。
• 区间 \( (-2, 2) \)：测试 \( x = 0 \)。符号为 \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(+)} \)。负数除以负数为正。
• 区间 \( (2, 3) \)：测试 \( x = 2.5 \)。符号为 \( \dfrac{(-)(+)}{(+)(+)} \)。负数除以正数为负。
• 区间 \( (3, \infty) \)：测试 \( x = 4 \)。符号为 \( \dfrac{(+)(+)}{(+)(+)} \)。正数除以正数为正。

不等式要求我们找出表达式小于或等于 0 的地方，这意味着我们要寻找的是负数区间。也就是 -3 到 -2 之间，以及 2 到 3 之间的区间。

应用包含规则（分子根用方括号，分母无定义的根用圆括号），我们写出最后的区间符号：

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3]} \]