高三（12年级）复数练习题与解答

a) \( (3 + 2i) - (8 - 5i) \)

分配负号并将实部和虚部分别组合在一起：

\[ = 3 + 2i - 8 + 5i \]

\[ = (3 - 8) + (2 + 5)i = \mathbf{-5 + 7i} \]

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b) \( (4 - 2i)(1 - 5i) \)

使用 FOIL 方法（首、外、内、末相乘）展开二项式，并记住 \( i^2 = -1 \)：

\[ = 4(1) + 4(-5i) - 2i(1) - 2i(-5i) \]

\[ = 4 - 20i - 2i + 10i^2 \]

\[ = 4 - 22i + 10(-1) \]

\[ = (4 - 10) - 22i = \mathbf{-6 - 22i} \]

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c) \( \dfrac{-2 - 4i}{i} \)

为了消除分母中的虚数单位，将分子和分母同乘以 \( -i \)（即 \( i \) 的共轭）：

\[ = \dfrac{(-2 - 4i)(-i)}{(i)(-i)} = \dfrac{2i + 4i^2}{-i^2} \]

代入 \( i^2 = -1 \)：

\[ = \dfrac{2i + 4(-1)}{-(-1)} = \dfrac{-4 + 2i}{1} = \mathbf{-4 + 2i} \]

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d) \( \dfrac{-3 + 2i}{3 - 6i} \)

将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，即 \( 3 + 6i \)：

\[ = \dfrac{(-3 + 2i)(3 + 6i)}{(3 - 6i)(3 + 6i)} \]

展开分子和分母：

分子：\( -9 - 18i + 6i + 12i^2 = -9 - 12i - 12 = -21 - 12i \)

分母：\( 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45 \)

将各项除以 45 并化简分式：

\[ = \dfrac{-21 - 12i}{45} = \dfrac{-21}{45} - \dfrac{12}{45}i = \mathbf{-\dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15}i} \]

首先，通过将给定方程的两边同乘以 \( i \)，来隔离复数 \( x + yi \)：

\[ \dfrac{x + yi}{i} \cdot i = (7 + 9i) \cdot i \]

\[ x + yi = 7i + 9i^2 \]

代入 \( i^2 = -1 \) 并写成标准形式：

\[ x + yi = -9 + 7i \]

我们需要计算的表达式是 \( (x + yi)(x - yi) \)。注意，\( (x - yi) \) 正好是 \( (x + yi) \) 的共轭复数。因此：

\[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) \]

这是一个平方差公式：\( (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \)。应用此规则：

\[ = (-9)^2 + (7)^2 = 81 + 49 = \mathbf{130} \]

设未知的复数为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数。因此其共轭复数为 \( z' = a - bi \)。

将 \( z \) 和 \( z' \) 代入给定方程中：

\[ (a + bi) + 3(a - bi) = 5 - 6i \]

展开并把左侧的实项和虚项分别归类：

\[ a + bi + 3a - 3bi = 5 - 6i \]

\[ (a + 3a) + (b - 3b)i = 5 - 6i \]

\[ 4a - 2bi = 5 - 6i \]

两个复数相等当且仅当它们的对应实部和虚部完全相等。通过使两部分对应相等，我们得到了一个包含两个简单线性方程的系统：

实部： \( 4a = 5 \implies a = \dfrac{5}{4} \)

虚部： \( -2b = -6 \implies b = 3 \)

最后，将 \( a \) 和 \( b \) 代回我们最初对 \( z \) 的定义中：

\[ \mathbf{z = \dfrac{5}{4} + 3i} \]

设 \( z = a + bi \)，这使得其共轭为 \( z' = a - bi \)。

一个复数与其共轭复数的乘积总是等于其分量平方的和：

\[ z z' = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]

已知 \( zz' = 25 \)，所以我们的第一个方程是：

\[ a^2 + b^2 = 25 \]

我们还得到了线性方程 \( a + b = 7 \)。我们可以通过代入法求解该方程组。在线性方程中隔离 \( b \)：

\[ b = 7 - a \]

将 \( b \) 的这个表达式代入二次方程中：

\[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]

展开完全平方二项式：

\[ a^2 + (49 - 14a + a^2) = 25 \]

合并同类项，形成标准二次方程（\( Ax^2 + Bx + C = 0 \)）：

\[ 2a^2 - 14a + 24 = 0 \]

整个方程同除以 2 进行化简：

\[ a^2 - 7a + 12 = 0 \]

对二次方程进行因式分解：

\[ (a - 4)(a - 3) = 0 \]

这给出 \( a \) 的两个可能值。我们利用 \( b = 7 - a \) 来求出对应的 \( b \) 值：

• 若 \( a = 4 \)，则 \( b = 7 - 4 = 3 \)。这给出了复数 \( z_1 = 4 + 3i \)。
• 若 \( a = 3 \)，则 \( b = 7 - 3 = 4 \)。这给出了复数 \( z_2 = 3 + 4i \)。

因此，满足这两个条件的复数为：

\[ \mathbf{z = 4 + 3i \quad \text{和} \quad z = 3 + 4i} \]

方法一：直接代入法（如下所示）

a) 既然 \( x = 2 + 4i \) 是一个根，将其代入方程必定使结果为零：

\[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \]

展开平方二项式并分配 \( b \)：

\[ (4 + 16i + 16i^2) + 2b + 4bi + c = 0 \]

代入 \( i^2 = -1 \) 并化简：

\[ 4 + 16i - 16 + 2b + 4bi + c = 0 \]

\[ -12 + 16i + 2b + 4bi + c = 0 \]

将实部和虚部分别组合在一起：

\[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \]

要使一个复数等于 0，其实部和虚部必须同时为 0：

虚部：\( 16 + 4b = 0 \implies 4b = -16 \implies \mathbf{b = -4} \)

实部：\( -12 + 2b + c = 0 \)。代入 \( b \) 的值：

\[ -12 + 2(-4) + c = 0 \implies -12 - 8 + c = 0 \implies \mathbf{c = 20} \]

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b) 因为多项式系数（\( 1, b, c \)）全都是实数，所以复共轭根定理指出根必须成对共轭出现。因此，第二个根是 \( 2 - 4i \)。

检验： 将 \( x = 2 - 4i \)、\( b = -4 \) 和 \( c = 20 \) 代入方程中：

\[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \]

\[ = (4 - 16i + 16i^2) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = (4 - 16i - 16) - 8 + 16i + 20 \]

\[ = -12 - 16i - 8 + 16i + 20 = (-12 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]

（替代方法：使用韦达定理。根的和为 \( -b \)，积为 \( c \)。给定根 \( 2+4i \) 和 \( 2-4i \)，和 = \( 4 \implies b = -4 \)。积 = \( (2)^2 + (4)^2 = 20 \implies c = 20 \）。）

设 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数。

将此代入给定方程中：

\[ (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

展开左侧：

\[ a^2 + 2abi + b^2i^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \]

\[ a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \]

令实部和虚部对应相等，列出方程组：

1) \( a^2 - b^2 = -1 \)

2) \( 2ab = 2\sqrt{6} \)

由方程 2，隔离 \( b \)：

\[ ab = \sqrt{6} \implies b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \]

将 \( b \) 的这个表达式代入方程 1：

\[ a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \]

\[ a^2 - \dfrac{6}{a^2} = -1 \]

整个方程同乘以 \( a^2 \) 以消去分母：

\[ a^4 - 6 = -a^2 \]

\[ a^4 + a^2 - 6 = 0 \]

这是一个关于 \( a^2 \) 的二次方程。我们可以将其因式分解为：

\[ (a^2 + 3)(a^2 - 2) = 0 \]

这给出 \( a^2 = -3 \) 或 \( a^2 = 2 \)。由于 \( a \) 必须是实数，\( a^2 \) 不能为负。因此，我们舍去 \( a^2 = -3 \)。

解 \( a^2 = 2 \) 得到两个实数根：\( a = \sqrt{2} \) 和 \( a = -\sqrt{2} \)。

现在，利用 \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \) 求出对应的 \( b \) 值：

• 若 \( a = \sqrt{2} \)，则 \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{6}{2}} = \sqrt{3} \)。
• 若 \( a = -\sqrt{2} \)，则 \( b = \dfrac{\sqrt{6}}{-\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \)。

将这些组合进我们的复数 \( z = a + bi \) 中，我们得到两个解：

\[ \mathbf{z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i \quad \text{和} \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i} \]

设 \( z = a + bi \) 且 \( z' = a - bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 为实数。

将这些表达式代入给定方程中：

\[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \]

使用 FOIL 方法仔细展开两组乘积：

第一组乘积：\( 4a + 4bi + 2ai + 2bi^2 = 4a - 2b + (2a + 4b)i \)

第二组乘积：\( 8a - 8bi - 2ai + 2bi^2 = 8a - 2b + (-2a - 8b)i \)

将展开后的表达式相加：

\[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (2a + 4b - 2a - 8b)i = -2 + 10i \]

通过合并同类项进行化简：

\[ (12a - 4b) + (-4b)i = -2 + 10i \]

令实部和虚部对应相等，列出方程组：

虚部： \( -4b = 10 \implies \mathbf{b = -\dfrac{5}{2}} \)

实部： \( 12a - 4b = -2 \)。代入 \( b \) 的值：

\[ 12a - 4\left(-\dfrac{5}{2}\right) = -2 \]

\[ 12a + 10 = -2 \]

\[ 12a = -12 \implies \mathbf{a = -1} \]

因此，复数 \( z \) 为：

\[ \mathbf{z = -1 - \dfrac{5}{2}i} \]

因为三次多项式中的所有系数（\( 1, 6, 61, 106 \)）均为实数，所以复共轭根定理保证了如果 \( z_1 = -2 + 7i \) 是一个根，其共轭 \( z_2 = -2 - 7i \) 也必定是一个根。

如果我们知道两个根，就可以通过相乘 \( (z - z_1)(z - z_2) \) 来构造与它们对应的二次因式：

\[ (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i)) \]

为了便于相乘，重新组合内部各项以构造平方差：

\[ = ((z + 2) - 7i)((z + 2) + 7i) \]

\[ = (z + 2)^2 - (7i)^2 \]

\[ = (z^2 + 4z + 4) - 49(-1) \]

\[ = z^2 + 4z + 53 \]

这个二次表达式必须是我们原三次多项式的一个因式。设剩余的实数根为 \( r \)。该三次多项式可以因式分解为：

\[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z^2 + 4z + 53)(z - r) \]

我们可以通过执行多项式长除法（用三次多项式除以二次因式）来求出缺失的一次因式 \( (z - r) \)。或者，我们可以通过观察首项和常数项来使用捷径：

• 首项 \( z^3 \) 除以 \( z^2 \) 得到 \( z \)。
• 常数项 \( 106 \) 除以 \( 53 \) 得到 \( +2 \)。

因此，一次因式为 \( (z + 2) \)。这意味着完全因式分解后的三次方程为：

\[ (z^2 + 4z + 53)(z + 2) = 0 \]

将一次因式设为零即可求得实数根：

\[ z + 2 = 0 \implies \mathbf{z = -2} \]

a) 要证明 \( 2i \) 是一个根，我们将 \( z = 2i \) 代入多项式并验证其结果是否等于零。

首先，计算 \( 2i \) 的各次方：

• \( (2i)^2 = 4i^2 = -4 \)
• \( (2i)^3 = 8i^3 = 8(-i) = -8i \)
• \( (2i)^4 = 16i^4 = 16(1) = 16 \)

将这些代入多项式中：

\[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \]

\[ = 16 + (-8i) + 2(-4) + 8i - 8 \]

\[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 \]

\[ = (16 - 8 - 8) + (-8i + 8i) = \mathbf{0} \]

因为结果为 0，所以 \( 2i \) 确实是一个根。

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b) 因为多项式具有实系数，所以复共轭根定理指出 \( -2i \) 也是一个根。

与这两个根对应的因式是 \( (z - 2i) \) 和 \( (z + 2i) \)。将它们相乘得到一个二次因式：

\[ (z - 2i)(z + 2i) = z^2 - (2i)^2 = z^2 - 4(-1) = z^2 + 4 \]

为了求出其余的根，我们用原本的 4 次多项式除以这个二次因式 \( z^2 + 4 \)。您可以使用多项式长除法：

\[ \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]

因此，多项式因式分解为：

\[ (z^2 + 4)(z^2 + z - 2) = 0 \]

其余的根来自于解二次方程 \( z^2 + z - 2 = 0 \)。将其因式分解：

\[ (z + 2)(z - 1) = 0 \]

这得出 \( z = -2 \) 和 \( z = 1 \)。因此，该方程的完整根集为：

\[ \mathbf{z = 2i, \quad z = -2i, \quad z = 1, \quad z = -2} \]

由于多项式具有严格的实系数，任何复数根必须成对共轭出现。既然已知两个复数根，我们立即可以得知另外两个根：

已知根：\( 2 - i \) 和 \( 1 - i \)

共轭根：\( 2 + i \) 和 \( 1 + i \)

我们可以通过将与这四个根相关的因式相乘来构造多项式：

\[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i)) \cdot (z - (1 - i))(z - (1 + i)) \]

我们先将共轭对相乘。这将产生两个实系数二次式。重新分组以使用平方差：

第一对：

\[ ((z - 2) + i)((z - 2) - i) = (z - 2)^2 - i^2 = (z^2 - 4z + 4) + 1 = \mathbf{z^2 - 4z + 5} \]

第二对：

\[ ((z - 1) + i)((z - 1) - i) = (z - 1)^2 - i^2 = (z^2 - 2z + 1) + 1 = \mathbf{z^2 - 2z + 2} \]

现在，将这两个二次多项式相乘得到 \( P(z) \)：

\[ P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z^2 - 2z + 2) \]

将第一个多项式中的每一项分配到第二个多项式中：

\[ = z^2(z^2 - 2z + 2) - 4z(z^2 - 2z + 2) + 5(z^2 - 2z + 2) \]

\[ = (z^4 - 2z^3 + 2z^2) - (4z^3 - 8z^2 + 8z) + (5z^2 - 10z + 10) \]

合并同类项：

• \( z^4 \) 项：\( z^4 \)
• \( z^3 \) 项：\( -2z^3 - 4z^3 = -6z^3 \)
• \( z^2 \) 项：\( 2z^2 + 8z^2 + 5z^2 = 15z^2 \)
• \( z \) 项：\( -8z - 10z = -18z \)
• 常数项：\( 10 \)

\[ P(z) = z^4 - 6z^3 + 15z^2 - 18z + 10 \]

将其与给定格式 \( z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) 进行比较，我们求出系数：

\[ \mathbf{a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18, \quad d = 10} \]

将二项式展开到 6 次方是繁琐的。相反，我们可以将复数转换为其极坐标形式 \( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \)，并使用棣莫弗定理：\( z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) \)。

首先，求复数 \( z = \sqrt{3} + i \) 的模 \( r \)：

\[ r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]

接下来，求辐角（夹角）\( \theta \)：

\[ \tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \]

由于两个分量均为正，该角位于第一象限：\( \theta = \dfrac{\pi}{6} \)（或 30°）。

因此，极坐标形式为 \( z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \)。

现在，对 \( n = 6 \) 应用棣莫弗定理：

\[ z^6 = 2^6 \left( \cos\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6 \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \]

\[ z^6 = 64 (\cos(\pi) + i\sin(\pi)) \]

我们知道 \( \cos(\pi) = -1 \) 且 \( \sin(\pi) = 0 \)：

\[ z^6 = 64 (-1 + 0i) = -64 \]

标准形式为：\( -64 + 0i \)。

设复变数为 \( z = x + yi \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 表示笛卡尔坐标。

将其代入给定的模方程中：

\[ |(x + yi) - 2| = |(x + yi) + 2i| \]

将模符号内的实部和虚部分组：

\[ |(x - 2) + yi| = |x + (y + 2)i| \]

复数 \( a+bi \) 的模为 \( \sqrt{a^2+b^2} \)。将其应用于两侧：

\[ \sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2} \]

两边平方以消去根号：

\[ (x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2 \]

展开两边的完全平方二项式：

\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4 \]

两边同时减去 \( x^2 \)、\( y^2 \) 和 \( 4 \)。它们完美地相消，剩下：

\[ -4x = 4y \]

除以 4 得到最终的笛卡尔方程：

\( y = -x \)

几何描述： 该轨迹是一条经过原点、斜率为 -1 的直线。（从概念上讲，\( |z - A| = |z - B| \) 在复平面中总是描述连接点 A 和点 B 的线段的垂直平分线。这里，A 是 (2, 0)，B 是 (0, -2)。它们的垂直平分线确实是直线 y = -x。）

为了求立方根，我们首先将数 \( 8i \) 写成极坐标形式。

其模为 \( 8 \)，并且由于它位于正虚轴上，其辐角为 \( \dfrac{\pi}{2} \)。一般极坐标形式为：

\[ 8i = 8 \left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) \]

为了求立方根（\( z = (8i)^{1/3} \)），我们使用棣莫弗求根公式：取模的立方根，并将辐角除以 3：

\[ z_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi/2 + 2k\pi}{3}\right) \right) \]

\[ z_k = 2 \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2k\pi}{3}\right) \right) \]

通过代入 \( k = 0, 1, 2 \)，我们求出三个不同的根：

当 k = 0 时：

\[ z_0 = 2 \left( \cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{\sqrt{3} + i} \]

当 k = 1 时：

\[ \text{辐角} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} \]

\[ z_1 = 2 \left( \cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6} \right) = 2 \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i \right) = \mathbf{-\sqrt{3} + i} \]

当 k = 2 时：

\[ \text{辐角} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{8\pi}{6} = \dfrac{9\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{2} \]

\[ z_2 = 2 \left( \cos\dfrac{3\pi}{2} + i\sin\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2(0 + (-1)i) = \mathbf{-2i} \]

这三个根分别是：\( \sqrt{3} + i \)、\( -\sqrt{3} + i \) 和 \( -2i \)。