探索各种复数问题的逐步解答。学习如何解决复数问题，包括运算、极坐标形式和应用。复数在应用数学、物理学、电气工程学和其他技术领域中起着至关重要的作用。
在以下内容中，\( i \) 是虚数单位。
计算下列表达式：
如果 \( \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \)（其中 \( x \) 和 \( y \) 是实数），那么 \( (x + yi)(x - yi) \) 的值是多少？
\[ \dfrac{x + yi}{i} = 7 + 9i \] \[ x + yi = i(7 + 9i) = -9 + 7i \] \[ (x + yi)(x - yi) = (-9 + 7i)(-9 - 7i) = 81 + 49 = 130 \]
确定满足方程的所有复数 \( z \)： \[ z + 3z' = 5 - 6i \] 其中 \( z' \) 表示 \( z \) 的复共轭。
设 \( z = a + bi \)，其共轭 \( z' = a - bi \)；其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数
将 \( z \) 和 \( z' \) 代入给定方程得：
\[ a + bi + 3(a - bi) = 5 - 6i \] \[ a + 3a + (b - 3b)i = 5 - 6i \] 左边合并同类项： \[ 4 a - 2b i = 5 - 6i \] 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。因此： \[ 4a = 5 \quad \text{且} \quad -2b = -6 \] \[ a = \dfrac{5}{4} \quad \text{且} \quad b = 3 \] \[ z = \dfrac{5}{4} + 3i \]求所有形如 \( z = a + bi \) 的复数（其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数），使得：
\[ z z' = 25 \quad \text{且} \quad a + b = 7 \] 其中，\( z' \) 表示 \( z \) 的复共轭。设 \( z = a + b i \)
因此其共轭为 \[ z' = a - b i \] 所以 \[ z z' = (a + b i)(a - b i) \] \[ = a^2 + b^2 = 25 \] \[ a + b = 7 \quad \text{得} \quad b = 7 - a \] 将上述代入方程 \( a^2 + b^2 = 25 \) \[ a^2 + (7 - a)^2 = 25 \]解上述关于 \( a \) 的二次方程，并使用 \( b = 7 - a \) 求 \( b \)。 \[ a = 4 \quad \text{且} \quad b = 3 \] 或 \[ a = 3 \quad \text{且} \quad b = 4 \] 复数 \[ z = 4 + 3i \] 和 \[ z = 3 + 4i \] 满足 \( z z' = 25 \)。
验证： \[ z = 4 + 3i \] 和 \[ z = 3 + 4i \] 都具有性质 \[ z z' = 25 \]
复数 \( 2 + 4i \) 是二次方程
\[ x^2 + bx + c = 0, \] 的根之一，其中 \( b \) 和 \( c \) 是实数。a) 求 \( b \) 和 \( c \)
b) 写出第二个根并验证。
a) 将根代入方程： \[ (2 + 4i)^2 + b(2 + 4i) + c = 0 \] 展开方程中的项并重写为： \[ (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0 \] 实部和虚部都为零。 \[ -12 + 2b + c = 0 \quad \text{且} \quad 16 + 4b = 0 \] 解 \( b \)： \[ b = -4 \] 代入并解 \( c \)： \[ c = 20 \]
b) 由于给定方程具有实系数，第二个根是给定根的复共轭：
\( 2 - 4i \) 是第二个解。
验证： \[ (2 - 4i)^2 - 4(2 - 4i) + 20 \] 展开： \[ = 4 - 16i + 16i - 16 + 8 - 20 + 20 \] \[ = (4 - 16 - 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0 \]求所有满足以下条件的复数 \( z \)： \[ z^2 = -1 + 2 \sqrt{6} i \]
设 \( z = a + bi \)
代入给定方程：\( (a + bi)^2 = -1 + 2\sqrt{6}i \)
展开：\( a^2 - b^2 + 2abi = -1 + 2\sqrt{6}i \)
实部和虚部必须相等。 \[ a^2 - b^2 = -1 \quad \text{且} \quad 2ab = 2\sqrt{6} \] 方程 \( 2ab = 2\sqrt{6} \) 给出：\( b = \dfrac{\sqrt{6}}{a} \)
代入：\( a^2 - \left( \dfrac{\sqrt{6}}{a} \right)^2 = -1 \) \[ a^4 - 6 = -a^2 \] 解上述方程并仅选择实根：\( a = \sqrt{2} \) 和 \( a = -\sqrt{2} \)
代入求 \( b \) 并写出满足给定方程的两个复数。 \[ z_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}i, \quad z_2 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}i \]
求所有满足以下条件的复数 \( z \)： \[ (4 + 2i)z + (8 - 2i)z' = -2 + 10i, \] 其中 \( z' \) 是 \( z \) 的复共轭。
设 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数。复共轭 \( z' \) 用 \( a \) 和 \( b \) 表示如下：\( z' = a - bi \)。
将 \( z \) 和 \( z' \) 代入给定方程 \[ (4 + 2i)(a + bi) + (8 - 2i)(a - bi) = -2 + 10i \] 展开并分离实部和虚部。 \[ (4a - 2b + 8a - 2b) + (4b + 2a - 8b - 2a)i = -2 + 10i \] 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等。合并同类项。 \[ 12a - 4b = -2 \quad \text{且} \quad -4b = 10 \] 解未知数 \( a \) 和 \( b \) 的方程组得： \[ b = -\dfrac{5}{2} \quad \text{且} \quad a = -1 \] \[ z = -1 - \dfrac{5}{2}i \]
已知复数 \( z = -2 + 7i \) 是方程： \[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = 0 \] 的根，求该方程的实根。
由于 \( z = -2 + 7i \) 是方程的一个根，且方程的所有系数都是实数，那么 \( z' \)（即 \( z \) 的复共轭）也是一个解。因此我们可以将左边因式分解如下： \[ z^3 + 6z^2 + 61z + 106 = (z - (-2 + 7i))(z - (-2 - 7i))q(z) \] \[ = (z^2 + 4z + 53)q(z) \] \[ q(z) = \dfrac{z^3 + 6z^2 + 61z + 106}{z^2 + 4z + 53} = z + 2 \] \( z + 2 \) 是 \( z^3 + 6z^2 + 61z + 106 \) 的一个因式，因此 \( z = -2 \) 是给定方程的实根。
a) 证明复数 \( 2i \) 是方程
\[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = 0 \] 的根。 b) 求该方程的所有根。a) 将表达式左边中的 \( z \) 替换为 \( 2i \)：
\[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 \] \[ (2i)^4 + (2i)^3 + 2(2i)^2 + 4(2i) - 8 \] \[ = 16 - 8i - 8 + 8i - 8 = 0 \]这表明 \( 2i \) 是给定方程的一个根。
b) 由于 \( 2i \) 是一个根且所有系数都是实数，\( -2i \) 也是一个根（复共轭）。因此我们可以将给定方程的左边因式分解如下： \[ z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8 = (z - 2i)(z + 2i)q(z) \] \[ = (z^2 + 4)q(z) \] \[ q(z) = \dfrac{z^4 + z^3 + 2z^2 + 4z - 8}{z^2 + 4} = z^2 + z - 2 \]
方程的另外两个根是 \( q(z) = z^2 + z - 2\) 的根，由下式给出：\[ z = 1 \quad \text{和} \quad z = -2 \]。
\( P(z) = z^4 + a z^3 + b z^2 + c z + d \) 是一个多项式，其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \) 是实数。
已知多项式 \( P \) 的两个零点是以下复数：\( 2 - i \) 和 \( 1 - i \)，求 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \)。
由于多项式 P 的所有系数都是实数，给定零点的复共轭 \[ 2 + i \quad \text{和} \quad 1 + i \] 也是多项式 \( P \) 的零点。因此 \( P(z) \) 的因式分解形式为： \[ P(z) = (z - (2 - i))(z - (2 + i))(z - (1 - i))(z - (1 + i)) = \] \[ = z^4 - 6 z^3 + 15 z^2 - 18 z + 10 \]
识别 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \) 得： \[ a = -6, \quad b = 15, \quad c = -18 , \quad d = 10. \]