根据多项式图像求其方程 - 含解答步骤
学习如何从图像确定多项式函数。本页包含示例题目，提供逐步解答和清晰解释，帮助您理解求解过程。
问题1 - 具有多重根的三次多项式
求下图所示的三次多项式函数 \( g \) 的方程。
函数图像在 \( x = -1 \) 处有一个重数为1的零点，对应因子 \( x + 1 \)，在 \( x = 3 \) 处有一个重数为2的零点（图像接触但不穿过x轴），对应因子 \( (x - 3)^2 \)，因此函数 \( g \) 的方程为：
\[ g(x) = k(x + 1)(x - 3)^2 \]其中 \( k \) 是常数。
常数 \( k \) 可通过图中坐标为 \( (1, 3) \) 的点求得。
\[ g(1) = k(1 + 1)(1 - 3)^2 = 3 \]简化并求解 \( k \)。
\[ k = \dfrac{3}{8} \]\( g(x) \) 的表达式为：
\[ g(x) = \dfrac{3}{8}(x + 1)(x - 3)^2 \]问题2 - 具有不同重数的四次多项式
求下图中显示的四次多项式函数 \( f \) 的方程。
多项式图像在 \( x = 2 \) 处有一个重数为1的零点，对应因子 \( (x - 2) \)，在 \( x = -2 \) 处有另一个重数为1的零点，对应因子 \( (x + 2) \)，在 \( x = -1 \) 处有一个重数为2的零点（图像接触但不穿过x轴），对应因子 \( (x + 1)^2 \)，因此多项式 \( f \) 的方程为：
\[ f(x) = k(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]其中 \( k \) 是常数。
常数 \( k \) 可通过图中显示的y轴截距 \( f(0) = -1 \) 求得。
\[ f(0) = k(0 - 2)(0 + 2)(0 + 1)^2 = -1 \]简化并求解 \( k \)。
\[ k = \dfrac{1}{4} \]\( f(x) \) 的表达式为：
\[ f(x) = \dfrac{1}{4}(x - 2)(x + 2)(x + 1)^2 \]问题3 - 具有不同重数的四次多项式
求下图中显示的四次多项式 \( f \) 的方程。
图像在 \( x = 0 \) 和 \( x = \dfrac{5}{2} \) 处有x轴截距。这些x轴截距是多项式 \( f(x) \) 的零点。由于图像在 \( x = 0 \) 和 \( x = \dfrac{5}{2} \) 处穿过x轴，这两个零点都具有奇数重数。图像在 \( x = 0 \) 处呈现立方形状，因此 \( x = 0 \) 处的零点重数为3。图像在 \( x = \dfrac{5}{2} \) 处的形状接近线性，因此 \( x = \dfrac{5}{2} \) 处的零点重数等于1。使用 \( x = 0 \) 和 \( x = \dfrac{5}{2} \) 处的零点，\( f(x) \) 可写为：
\[ f(x) = k(x - 0)^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right), \quad \text{其中 } k \text{ 是常数。} \]现在我们使用点 \( (2, -4) \) 来求 \( k \)。
\[ -4 = k(2)^3 \left(2 - \dfrac{5}{2}\right), \quad \text{求解 } k \text{ 得到} \quad k = 1 \]多项式 \( f(x) \) 的方程为：
\[ f(x) = x^3 \left(x - \dfrac{5}{2}\right) \]问题4 - 三次多项式系数
三次多项式 \( y = a x^3 + b x^2 +c x + d \) 的图像如下所示。求系数 \( a, b, c \) 和 \( d \)。
该多项式次数为3。多项式图像在 \( x = -2 \) 处有一个重数为1的零点，对应因子 \( x + 2 \)，在 \( x = 1 \) 处有一个重数为2的零点，对应因子 \( (x - 1)^2 \)。因此多项式可写为：
\[ y = k(x + 2)(x - 1)^2 \]现在我们使用图中显示的y轴截距 \( (0 , 1) \) 来求 \( k \)。
\[ 1 = k(0 + 2)(0 - 1)^2 = 2k \]求解 \( k \)。
\[ k = \dfrac{1}{2} \]现在我们展开多项式，将其写成标准形式，并确定系数 \( a \)、\( b \)、\( c \) 和 \( d \)。
\[ y = \dfrac{1}{2}(x + 2)(x - 1)^2 = 0.5x^3 - 1.5x + 1 \]现在我们将上面找到的多项式表达式与下式比较：
\[ y = ax^3 + bx^2 + cx + d \]得到系数的值：
\[ a = 0.5, \quad b = 0, \quad c = -1.5, \quad d = 1 \]问题5 - 偶多项式对称性
多项式 \( y=a x^4+bx^3+c x^2+d x+e \) 的图像关于y轴对称，如下图所示。求系数 \( b, d \) 和 \( e \)。
多项式图像关于y轴对称，因此上面给出的多项式函数必须是偶函数。给定多项式表达式中的项 \( b x^3 \) 和 \( d x \) 不是偶函数项，因此它们的系数等于0。故有：
\[ b = 0 , \quad d = 0 \]因此 \( y \) 的表达式为：
\[ y = a x^4 + c x^2 + e \]系数 \( e \) 通过图中显示的y轴截距 \( (0 , -2) \) 求得。
\[ -2 = a (0)^4 + c (0)^2 + e \] \[ e = -2 \]