通过这份分步指南掌握12年级数学中关于为多项式函数创建符号表的技巧。本资源包含具有挑战性的练习题、详细解答和清晰的图形解释，帮助您全面理解多项式特性。
SAT、ACT和Compass数学考试免费练习已知多项式 p 为 \[ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt 3)(x + \sqrt 3) \] 制作p的符号表并绘制p的可能图像。
我们首先找出多项式函数\( p(x) \)的零点。 \[ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 \]
当\( p(x) = 0 \)时，需满足 \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{或} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{或} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 \] 解以上方程得到\( p(x) \)的零点： \[ x = 1 \;\; \text{(重数为2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{和} \quad x = -\sqrt{3} \]
c) 借助\( p(x) \)的因式形式及其零点，我们使用以下条件制作符号表：
\( (x - 1)^2 \)在除\( x = 1 \)外的所有x处为正
\( x - \sqrt{3} > 0 \) 当 \( x > \sqrt{3} \)
\( x + \sqrt{3} > 0 \) 当 \( x > -\sqrt{3} \)
\( f(x) \)是一个六次多项式，其首项系数\( k \)为负。\( f \)在\( x = -1 \)处有重数为1的零点，在\( x = 1 \)处有重数为3的零点，在\( x = 3 \)处有重数为2的零点。制作多项式\( f \)的符号表。
我们首先写出多项式\( f \)各因子及其重数：
在\( x = -1 \)处重数为1的零点：因子：\( x + 1 \)
在\( x = 1 \)处重数为3的零点：因子：\( (x - 1)^3 \)
在\( x = 3 \)处重数为2的零点：因子：\( (x - 3)^2 \)
设\( k \)（负值）为\( f \)的首项系数。使用以上所有因子，我们将\( f(x) \)写为：
\[ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 \]我们首先研究\( f \)不同因子的符号：
\( x + 1 > 0 \) 当 \( x > -1 \)
\( (x - 1)^3 > 0 \) 当 \( x > 1 \)
\( (x - 3)^2 > 0 \) 在除\( x = 3 \)外的所有x处成立
下方展示了各因子及多项式f(x)（最后一行）的符号表：