对数和指数问题解答与解析 - 12年级

将方程重写为：\[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \] 得到 \[ 2x + 1 = 0 \] 解出 \( x \)：\[ x = -\dfrac{1}{2} \]

将给定方程的所有项除以 \( x y \) \[ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} \] 并简化： \[ y^{m - 1} = x^2 \]

两边取 \(\ln\)： \[ \ln(y^{m - 1}) = \ln (x^2) \] 并简化 \[ (m - 1) \ln y = 2 \ln x \]

解出 \( m \)： \[ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} \]

使用对数乘积法则：\[ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) \] 简化 \[ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} \] 使用换底公式：\[ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} = \dfrac{b}{2/3}, \quad \text{因为 } \log_8(4) = \dfrac{2}{3} \] 简化得到： \[ \log_4(10) = \log_4(2) + \log_4(5) = \dfrac{1 + 3b}{2} \]

\[ \log_6(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)} \] \[ = \log_6(6^3) + \dfrac{\log(42/6)}{\log(7^2)} \] \[ = 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \]

计算表达式：

\[ \left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3} \] \[ = \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{\dfrac{6}{27}}{6} \right)^{1/3} \] \[ = \left( {\dfrac{1}{27}} \right)^{1/3} = \left( {\dfrac{1}{3^3}} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} \]

使用换底公式：\((\log_x a)(\log_a b)\) 写作 \[ (\log_x a)(\log_a b) = \log_x a \left(\dfrac{\log_x b}{\log_x a}\right) = \log_x b \]

点 \( (e, 2) \) 通过图形 \( y \)，因此： \[ 2 = \log_a e \] 重写为指数形式： \[ a^{2} = e \]

两边取 \( \ln \) \[ \ln(a^{2}) = \ln e \] 使用公式简化：\( \ln(a^{2}) = 2 \ln a \) 和 \( \ln e = 1 \)： \[ 2 \ln a = 1 \] \[ \ln a = \dfrac{1}{2} \] 重写为指数形式： \[ a = e^\left({\dfrac{1}{2}} \right) = \sqrt{e} \]

使用以自然对数为底的换底公式重写给定方程如下： \[ \dfrac{\ln(x)}{\ln(3)} = A \dfrac{\ln(x)}{\ln(5)} \]

解出 \( A \)： \[ A = \dfrac{\ln(5)}{\ln(3)} \]

将给定方程重写为： \[ \log \bigl( \log (2 + \log_{2}(x + 1)) \bigr) = \log(1), \] 因为 \(\log(1) = 0\)。 \[ \log (2 + \log_{2}(x + 1)) = 1 \]

重写为指数形式： \[ 2 + \log_{2}(x + 1) = 10 \]

将含 \( \log \) 的项写在一侧： \[ \log_{2}(x + 1) = 8 \]

重写为指数形式： \[ x + 1 = 2^{8} \]

解出 \( x \)： \[ x = 2^{8} - 1 = 255 \]

注意：\[ b^{4 \log_b x} = (b^{\log_b x})^4 = x^4 \]

因此，给定方程可写为： \[ 2x \cdot x^4 = 486 \]

简化为 \[ x^5 = 243 \] 然后 \[ x = 243^{\dfrac{1}{5}} = 3 \]

使用乘积法则将左侧写为： \[ \ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = \ln ((x - 1)(2x - 1)) \]

将给定方程重写为： \[ \ln ((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) \] 得到代数方程 \[ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 \]

展开、简化并将方程重写为标准形式： \[ x^2 - 5 x = 0 \] 解出 \( x \) 得到两个解： \[ x = 0 \quad \text{和} \quad x = 5 \]

检查解： \(x = 0 \) 不在方程左侧的定义域内，因此不是给定方程的解。

\( x = 5 \) 是给定方程的解。（作为练习检查）

通过解方程求 \( x \)-截距：\[ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) \]

两边除以 2：\[ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 \]

重写为指数形式： \[ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 \]

将上述方程重写为： \[ \sqrt{x - 1} = 3 \]

两边平方： \[ (x - 1) = 3^2 \] 解出 \( x \) \[ x = 10 \] 注意：检查 \( x = 10 \) 是否在函数的定义域内。

给定： \[ 9^x - 3^x - 8 = 0 \] 注意：\[ 9^x = (3^x)^2 \]

方程可写为 \[ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 \]

令 \( y = 3^x \) 并将方程用 \( y\) 重写为： \[ y^2 - y - 8 = 0 \]

解出 \( y \) 得到两个解： \[ \quad y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{和} \quad y = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{2} \]

因为 \( y = 3^x \)（正数），唯一可接受的解是： \[ y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]

将 \( y \) 替换为 \( 3^x \) 得到方程： \[ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]

两边取 \( \ln \)： \[ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) \]

简化并求解： \[ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } \]

给定： \[ \quad 4^{x - 2} = 3^{x + 4} \] 两边取 \(\ln\)： \[ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) \] 简化： \[ (x - 2)\ln 4 = (x + 4)\ln 3 \] 展开： \[ x \ln 4 - 2 \ln 4 = x \ln 3 + 4 \ln 3 \] 合并同类项： \[ x \ln 4 - x \ln 3 = 4 \ln 3 + 2 \ln 4 \] 解出 \(x\)： \[ x = \dfrac{4 \ln 3 + 2 \ln 4}{\ln 4 - \ln 3} = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 4^2\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \] \[ = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 2^4\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} = \dfrac{4 \ln 6}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \]

使用指数形式重写给定方程：\[ x^{-\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{8} \]

将上述方程两边同时取 \(-\dfrac{4}{3}\) 次幂：\[\left(x^{-\dfrac{3}{4}}\right)^{-\dfrac{4}{3}} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\dfrac{4}{3}}\]

简化并解出 \( x \)：\[ x = 8^{\left(\dfrac{4}{3}\right)} = 2^{4} = 16 \]