高三对数与指数问题及答案与详细解答

第 1 步：重写方程，使两边具有相同的底数。我们知道任何非零数的 $0$ 次幂都等于 $1$：
$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 $$

第 2 步：令指数相等：
$$ 2x + 1 = 0 $$

第 3 步：求解 $x$：
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$

最终答案：$x = -\dfrac{1}{2}$

第 1 步：将给定方程中的所有项同除以 $x y$（假设 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$）：
$$ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} $$

第 2 步：使用商法则简化指数：
$$ y^{m - 1} = x^2 $$

第 3 步：对两边取自然对数 ($\ln$) 以分离包含 $m$ 的指数：
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$

第 4 步：应用对数的幂法则（$ \ln(A^n) = n \ln A $）：
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$

第 5 步：求解 $m$（假设 $\ln y \neq 0$，即 $y \neq 1$）：
$$ m - 1 = \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$

第 1 步：使用对数的乘积法则展开 $\log_4(10)$：
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$

第 2 步：简化第一项：
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} $$

第 3 步：对第二项使用换底公式，将其与给定的底数 8 联系起来：
$$ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$

第 4 步：代入已知值 $b$ 并简化 $\log_8(4)$：
我们知道 $\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$（因为 $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$）。
$$ \log_4(5) = \dfrac{b}{2/3} = \dfrac{3b}{2} $$

第 5 步：将各部分合并：
$$ \log_4(10) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3b}{2} = \dfrac{1 + 3b}{2} $$

第 1 步：认识到 $216 = 6^3$，简化第一项：
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$

第 2 步：使用对数商法则简化分数的分子：
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\dfrac{42}{6}\right) = \log(7) $$

第 3 步：使用指数重写分母：
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$

第 4 步：将所有内容组合到原表达式中：
$$ 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} $$

第 5 步：约去 $\log(7)$ 并计算最终结果：
$$ 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$

第 1 步：将括号内的负指数转换为分数：
$$ \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$

第 2 步：通分以相减分子中的分数：
$$ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} $$

第 3 步：代回并简化复分式：
$$ \left( \dfrac{\dfrac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{54} \right)^{1/3} $$

第 4 步：约简分数并求立方根（$1/3$ 次幂）：
$$ \left( \dfrac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} $$

第 1 步：对第二项使用换底公式，使其底数变为 $x$：
$$ \log_a b = \dfrac{\log_x b}{\log_x a} $$

第 2 步：将其代回原表达式：
$$ (\log_x a) \left( \dfrac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$

第 3 步：约去公共项 $\log_x a$（假设 $a \neq 1, x \neq 1$）：
$$ \log_x b $$

第 1 步：将坐标 $(x=e, y=2)$ 代入方程：
$$ 2 = \log_a e $$

第 2 步：将对数方程改写为指数形式：
$$ a^2 = e $$

第 3 步：解出 $a$。开平方根（因为对数的底数必须为正，所以我们只保留正根）：
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

第 1 步：使用换底公式（均转换为自然对数）重写方程：
$$ \dfrac{\ln x}{\ln 3} = A \dfrac{\ln x}{\ln 5} $$

第 2 步：因为 $x > 0$ 且为求解一般恒等式假定 $x \neq 1$，所以 $\ln x \neq 0$。两边同除以 $\ln x$：
$$ \dfrac{1}{\ln 3} = \dfrac{A}{\ln 5} $$

第 3 步：两边同乘以 $\ln 5$ 解出 $A$：
$$ A = \dfrac{\ln 5}{\ln 3} $$

第 1 步：从最外层的对数（底数 10）开始，改写为指数形式：
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$

第 2 步：对下一层外侧对数再次进行该操作（底数 10）：
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$

第 3 步：隔离剩余的对数项：
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$

第 4 步：改写为指数形式（底数 2）：
$$ x + 1 = 2^8 $$

第 5 步：求解 $x$：
$$ x = 256 - 1 = 255 $$

检验：将 255 代回会使所有对数的真数都为正数，因此该解有效。

第 1 步：专注于化简指数项。逆用幂的乘方规则：$a^{bc} = (a^b)^c$。
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$

第 2 步：使用反函数性质 $b^{\log_b x} = x$ 进行化简：
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$

第 3 步：代回原方程：
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$

第 4 步：化简并求解 $x$：
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$

第 1 步：确定定义域。
所有对数的真数必须严格为正：
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
这些条件的交集为 $x > 1$。因此，定义域为 $(1, \infty)$。

第 2 步：使用对数幂法则和乘积法则将两边合并：
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$

第 3 步：因为自然对数是一一映射，我们可以去掉对数并令真数相等：
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$

第 4 步：展开两边：
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$

第 5 步：移项并求解二次方程：
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
解为：$x = 0$ 和 $x = 5$。

第 6 步：验证定义域。
$x = 0$ 不大于 1，因此它会产生负真数（增根）。只有 $x = 5$ 落在定义域内。
最终答案：$x = 5$

第 1 步：确定定义域。
根号内部：$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$。
对数内部：$\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$。
定义域为 $x > 5$。

第 2 步：当 $y = 0$ 时产生 $x$ 截距：
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$

第 3 步：同除以 2 并改写为指数形式（底数 10）：
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$

第 4 步：隔离平方根并求解 $x$：
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$

第 5 步：验证。
$x = 10$ 严格大于 5，因此在定义域内。
最终答案：$x$ 截距位于 $(10, 0)$。

第 1 步：认识到这是一个隐蔽的二次方程。将 $9^x$ 改写为以 3 为底：
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
因此，方程变为：
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$

第 2 步：令 $y = 3^x$ 并重写方程：
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$

第 3 步：使用求根公式求解 $y$（$a=1, b=-1, c=-8$）：
$$ y = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

第 4 步：代回 $y = 3^x$。由于指数函数 $3^x$ 必须严格为正，我们必须舍弃负根 $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$。
$$ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} $$

第 5 步：两边取自然对数 ($\ln$) 求解 $x$：
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$

第 1 步：两边取自然对数 ($\ln$)：
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$

第 2 步：使用幂法则将指数移下来：
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$

第 3 步：展开两边：
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$

第 4 步：将包含 $x$ 的项归到同一侧，常数项归到另一侧：
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$

第 5 步：提取 $x$ 并求解：
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \dfrac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$

第 6 步（可选）：合并对数以得到更简洁的最终答案：
分子：$\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$。注：$1296 = 6^4$，故此项为 $4\ln(6)$。
分母：$\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$。
$$ x = \dfrac{4 \ln(6)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} $$

第 1 步：将对数方程改写为指数形式：
$$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{8} $$

第 2 步：为了隔离 $x$，将方程两边同时提高到其倒数 $-\dfrac{4}{3}$ 次幂：
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$

第 3 步：简化右侧。负指数会使分数上下颠倒：
$$ x = 8^{4/3} $$

第 4 步：计算 $8^{4/3}$（先开立方根，再求 4 次方）：
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$

最终答案：$x = 16$