解三角函数方程 - 12年级

\(\sin(x)\) 在第一象限和第二象限为正，因此给定方程有两个解。

在第一象限，\(\sin(x) = \frac{1}{2}\) 的解是 \[x = \frac{\pi}{6}\]（单位圆中的绿色角）。

在第二象限，根据单位圆的对称性，\(\sin(x) = \frac{1}{2}\) 的解是 \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] （单位圆中的棕色角）。

方程 \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) 的图形解是通过首先将方程右边设为零得到的：\(\sin(x) - \frac{1}{2} = 0\)。然后绘制方程左边的图像，方程的解就是 \(f(x) = \sin(x) - \frac{1}{2}\) 图像的 x 截距，如下所示。可以容易地验证下图中的两个 x 截距接近上面找到的解析解：\(\frac{\pi}{6}\) 和 \(\frac{5\pi}{6}\)。

该方程可写为：\[ \sin(x) = -\cos(x) \] 将方程两边除以 \(\cos(x)\)：\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \] 使用恒等式 \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) 将方程重写为：\[ \tan(x) = -1 \] 解方程 \(\tan(x) = -1\) \(\tan(x)\) 在第二象限和第四象限为负。 第二象限的解：\[ x = \frac{3\pi}{4} \] 根据单位圆的对称性，第四象限的解为：\[ \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \]

图形解可以通过 \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) 图像的 x 截距来近似。我们可以容易地验证上面找到的两个解 \(\frac{3\pi}{4}\) 和 \(\frac{7\pi}{4}\) 接近下图中显示的 x 截距。

我们首先使用公式 \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \] 来写： \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \] 将给定方程重写如下： \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] 解上述方程得到： \[ \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad \text{其中} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] 简化并重写解为： \[ x = 2k + \frac{2}{3} \quad \text{其中} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

前 3 个正数解是： \[ \frac{2}{3}, \quad \frac{8}{3}, \quad \frac{14}{3} \] 对应 \( k = 0, 1, 2 \)。这些值接近 \[ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] 图像（如上所示）的 x 截距。

我们首先使用恒等式： \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] 将方程重写为： \[ 2(1 - \cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \] 合并同类项并将方程右边设为零： \[ -2 \cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0 \] 令 \( u = \cos(x) \) 并将方程重写为： \[ -2u^2 + u + 1 = 0 \] 解 \( u \) 得到：\( \quad u = 1 \) 和 \( \quad u = -\frac{1}{2} \)

1) 解 \( u = 1 \) 求 \( x \)：\[ u = \cos(x) = 1 \] 得到 \[ x_1 = 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] 2) 解 \( u = -\frac{1}{2} \) 求 \( x \)： \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \] \( \cos(x) \) 在第二象限和第三象限为负，因此 \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) 还有另外两组解。 \[ x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] 和 \[ x_3 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] 前 3 个正数解是通过在所有三组解中设 \( k = 0 \) 得到的： \[ 0,\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{4\pi}{3} \] 这些值接近下图所示的 \( g(x) = 2\sin^2(x) + \cos(x) - 1 \) 图像的 \( x \) 截距。

我们首先使用恒等式： \[ \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \] 将方程重写为： \[ 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) = 4 \] 合并同类项并将方程右边设为零： \[ 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 3 \] \[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] 1) 解第一个方程 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 余弦函数在第一象限和第四象限为正，因此得到两组解： \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(第一象限)} \] 和 \[ \frac{x}{2} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(第四象限)} \] 将所有项乘以 2 得到前两组解： \[ x_1 = \frac{\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] \[ x_2 = \frac{11\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] 2) 解第二个方程 \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) 余弦函数在第二象限和第三象限为负，因此得到另外两组解： \[ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(第二象限)} \] 和 \[ \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(第三象限)} \] 将所有项乘以 2 得到另外两组解： \[ x_3 = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] \[ x_4 = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{其中 } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] 前 4 个正数解是通过在所有四组解中设 \(k = 0\) 得到的：\(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}\)。这些值接近 \[ f(x) = 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x) - 4 \] 图像（如下所示）的 x 截距。

我们首先使用恒等式： \[ \tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1 \] 将方程重写为： \[ \sec^{2}(x) - 1 + 2 \sec(x) + 1 = 0 \] 合并同类项并将方程右边设为零： \[ \sec^{2}(x) + 2 \sec(x) = 0 \] 因式分解： \[ \sec(x) \bigl(\sec(x) + 2\bigr) = 0 \] \(\sec(x) = 0\) 无解。

解： \[ \sec(x) + 2 = 0 \] 使用 \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\) 将方程重写为： \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \] 余弦函数在第二象限和第三象限为负；因此得到两组解： \[ x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{其中} \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] \[ x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{其中} \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

前 2 个正数解是通过在两组解中设 \(k = 0\) 得到的：\(\frac{2\pi}{3}\) 和 \(\frac{4\pi}{3}\)。这些值接近上面所示的 \(f(x) = \tan^{2}(x) + 2 \sec(x) + 1\) 图像的 x 截距。

我们首先使用恒等式： \[ \cos(3x) = \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) \] 和 \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] 将给定方程重写如下： \[ \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = \cos(x) \] 将右边设为零并提取公因式 \(\cos(x)\)： \[ \cos(x) \left( \cos^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \] 使用恒等式 \(\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)\) 将方程重写如下： \[ \cos(x) \left( 1 - \sin^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \] 简化： \[ \cos(x) \left( -4 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \right) = 0 \] 因式分解： \[ 2 \sin(x) \cos(x) (1 - 2 \sin(x)) = 0 \] 令每个因子为零并求解。 \[ \sin(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = k \pi \] \[ \cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + k \pi \] \[ 1 - 2 \sin(x) = 0 \quad \text{或} \quad \sin(x) = \frac{1}{2} \] 得到另外两组解： \[ x_3 = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \] 和 \[ x_4 = \frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi \]

前 6 个正数解是通过在前两组解 \(x_1\) 和 \(x_2\) 中设 \(k = 0\) 和 \(k = 1\) 得到的： \[ 0, \quad \pi, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3 \pi}{2} \] 以及在第二组和第三组解 \(x_3\) 和 \(x_4\) 中设 \(k=0\) 得到 \[ \frac{\pi}{6} \quad \text{和} \quad \frac{5 \pi}{6} \] 这 6 个解接近 \[ f(x) = \cos(3x) + \sin(2x) - \cos(x) \] 图像（如下所示）的 \(x\) 截距。

我们利用如果 \(\cos(A) = \cos(B)\)，那么 \[ A = B + 2k\pi \quad \text{或} \quad A = -B + 2k\pi \] 来写： \[ 3x = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] 或 \[ 3x = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \] 解 \[ 3x = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] 解： \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \] 解 \[ 3x = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \] 得到 \[ 5x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \] 将所有项除以 5： \[ x_2 = -\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \] 其中 \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) 在两组解中。

下图所示的 \[ f(x) = \cos(3x) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \] 图像中的 6 个 x 截距对应于第一组解 \(x_1\) 中 \(k = 0\) 的解和第二组解 \[ x_2 = -\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} . \] 中 \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) 的解。