首先，我们复习反函数的定义。 然后研究一一函数及其反函数的图像。还包含更多关于 求反函数的教程。
设函数 \(f\) 定义为一个有序对的集合： \[ f = \{(-3, 0), (-1, 1), (0, 2), (1, 4), (5, 3)\} \] 函数 \(f\) 的反函数 \(g\) 通过交换每个有序对的各分量得到： \[ g = \{(0, -3), (1, -1), (2, 0), (4, 1), (3, 5)\} \]
\(f\) 和 \(g\) 的图像如下所示。函数 \(f\) 及其反函数 \(g\) 关于直线 \(y = x\) 互为反射。
一一函数 \(f\) 的反函数记为 \(f^{-1}\)，定义为： \[ f^{-1}(x) = \{(y, x) \mid y = f(x)\} \]
注意： \(f^{-1}\) 中的 \(-1\) 不是指数。如果 \(f\) 不是一一函数，它就没有反函数。
示例：设 \[ f = \{(1,0),(4,5),(6,9)\} \] 则反函数为 \[ f^{-1} = \{(0,1),(5,4),(9,6)\} \] \(f\) 的定义域是 \(f^{-1}\) 的值域，\(f\) 的值域是 \(f^{-1}\) 的定义域。
一般地： \[ f(f^{-1}(x)) = x, \quad x \in f^{-1} \text{ 的定义域} \] \[ f^{-1}(f(x)) = x, \quad x \in f \text{ 的定义域} \]
在某些情况下，我们知道函数的输出，需要求输入。例如，求满足 \(0 < x < \pi/2\) 的 \(x\)： \[ \sin(x) = 0.2 \implies x = \arcsin(0.2) \] 这里 \(\arcsin\) 是 \(\sin\) 的反函数。
只有一一函数才可逆。例如： \[ f = \{(-3,0), (-1,2), (0,2), (1,4), (5,3)\} \] 其反函数将是 \[ g = \{(0,-3),(2,-1),(2,0),(4,1),(3,5)\} \] 但 \(g\) 不是函数，因为输入 \(2\) 有两个输出（\(-1\) 和 \(0\)）。因此，\(f\) 不可逆。
函数（蓝色）及其反函数（红色）的图像：
对于下面绘制的每个函数：
a) 带定义域限制的二次函数：
b) 三次函数：
c) 对数函数：
a) \(f(x) = x^2, x \ge 0\)
\(f\) 上的点：\((0,0), (1,1), (2,4)\)
\(f^{-1}\) 上的点：\((0,0), (1,1), (4,2)\)
b) \(g(x) = x^3\)
\(g\) 上的点：\((-1,-1), (0,0), (1,1), (2,8)\)
\(g^{-1}\) 上的点：\((-1,-1), (0,0), (1,1), (8,2)\)
c) \(h(x) = \ln(x)\)
\(h\) 上的点：\((1,0), (4,1.4)\)
\(h^{-1}\) 上的点：\((0,1), (1.4,4)\)
练习 1： 求 \[ f = \{(-4,2),(-3,1),(0,5),(2,6)\} \] 的定义域和值域，并求其反函数及其定义域和值域。
练习 2： 指出没有反函数的函数： \[ f = \{(-1,2),(-3,1),(0,2),(5,6)\},\quad g = \{(-3,0),(-1,1),(0,5),(2,6)\},\quad h = \{(2,2),(3,1),(6,5),(7,1)\} \]
练习 1 解答：
\(f\) 的定义域 \(= \{-4,-3,0,2\}\)，\(f\) 的值域 \(= \{2,1,5,6\}\)
反函数：\(f^{-1} = \{(2,-4),(1,-3),(5,0),(6,2)\}\)
\(f^{-1}\) 的定义域 \(= \{2,1,5,6\}\)，\(f^{-1}\) 的值域 \(= \{-4,-3,0,2\}\)
练习 2 解答：
函数 \(f\) 和 \(h\) 不是一一函数（它们将多个输入映射到同一输出）；因此它们没有反函数。函数 \(g\) 是一一函数，可逆。