性质 5：图像反射
如果 \( f \) 与 \( g \) 互为反函数，那么它们的图像关于直线 \( y = x \) 互为反射。
下图展示了 \[ f(x) = \sqrt{x - 3} \] 及其反函数 \[ f^{-1}(x) = x^2 + 3, \quad x \ge 0 \] 的图像。
本教程讲解反函数最重要的性质，并附示例与图像解释。一般性介绍请参阅 反函数教程。
只有一一函数才有反函数。如果 \( g \) 是 \( f \) 的反函数，那么 \( f \) 也是 \( g \) 的反函数，并且两个函数都必须是一一函数。
函数 \( f \) 与 \( g \) 互为反函数当且仅当： \[ (f \circ g)(x) = x, \quad x \text{ 在 } g \text{ 的定义域内} \] 且 \[ (g \circ f)(x) = x, \quad x \text{ 在 } f \text{ 的定义域内} \]
设 \[ f(x) = 3x \quad \text{和} \quad g(x) = \frac{x}{3}. \]
则： \[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3\left(\frac{x}{3}\right) = x \] 且 \[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{3x}{3} = x. \]
结论： 因此，\( f \) 与 \( g \) 互为反函数。
如果 \( f \) 与 \( g \) 互为反函数，那么 \( f \) 的定义域等于 \( g \) 的值域，\( f \) 的值域等于 \( g \) 的定义域。
设 \[ f(x) = \sqrt{x - 3}. \] \( f \) 的定义域为 \([3, +\infty)\)，值域为 \([0, +\infty)\)。
为求反函数，解 \( y = \sqrt{x - 3} \)，两边平方（\( y^2 = x - 3 \implies x = y^2 + 3 \)），交换变量，得到： \[ f^{-1}(x) = x^2 + 3, \quad x \ge 0 \]
根据性质 4，\( f^{-1} \) 的定义域为 \([0, +\infty)\)，值域为 \([3, +\infty)\)。
如果 \( f \) 与 \( g \) 互为反函数，那么它们的图像关于直线 \( y = x \) 互为反射。
下图展示了 \[ f(x) = \sqrt{x - 3} \] 及其反函数 \[ f^{-1}(x) = x^2 + 3, \quad x \ge 0 \] 的图像。
如果点 \( (a, b) \) 在 \( f \) 的图像上，那么点 \[ (b, a) \] 在反函数 \( f^{-1} \) 的图像上。